Punktweise/gleichmäßige Konvergenz Funktionenfolge

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KoenigVonAugsburg Auf diesen Beitrag antworten »
Punktweise/gleichmäßige Konvergenz Funktionenfolge
Hallo,

ich habe ein paar Fragen zum Thema Funktionsfolgen, deren punktweiser/gleichmäßiger Konvergenz, Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Grenzfunktion.

Diese Funktion betrachte ich:


So erstmal die Punktweise Konvergenz.
Hier muss ich doch folgendes zeigen:


Dafür benötige ich aber die Grenzfunktion f(x). Diese ist definiert als:


Also erstmal die Grenzfunktion bestimmen, dann zeigen dass für jedes Epsilon die obere aussage gilt, und fertig oder?

Dann die gleichmäßige Konvergenz:
Hier für muss ich dann das hier zeigen:

also im prinzip das selbe wie für punktw. Konv. , bloß darf das N nicht von x abhängen.

Jetzt zur Stetigkeit:

Hier habe ich mein größtes Problem. Ich weis nicht wie ich Stetigkeit der Funktionenfolge beweisen soll. Hat da jemand einen Tipp?

Zuallerletzt die Diffbarkeit der Grenzfunktion:
Reicht es hier einfach abzuleiten und daraus zu schließen, dass die Ableitung auf ganz R definiert ist?

Denkt ihr hier kann man diesen stumpfen Standardweg wählen oder gibt es hier irgendwelche Stellen wo man besonders aufpassen sollte?

Danke. smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Punktweise/gleichemäßige Konvergenz Funktionenfolge
Zitat:
Original von KoenigVonAugsburg
Also erstmal die Grenzfunktion bestimmen, dann zeigen dass für jedes Epsilon die obere aussage gilt, und fertig oder?

Wenn die Grenzfunktion existiert, dann ist das automatisch erledigt, denn die Aussage mit dem epsilon ist nichts anderes als die Definitoin des Grenzwerts. smile

Zitat:
Original von KoenigVonAugsburg
Hier habe ich mein größtes Problem. Ich weis nicht wie ich Stetigkeit der Funktionenfolge beweisen soll. Hat da jemand einen Tipp?

Wahrscheinlich meinst du die Stetigkeit der Grenzfunktion. Da wäre die erste Idee, sich einfach die Grenzfunktion anzuschauen.

Zitat:
Original von KoenigVonAugsburg
Zuallerletzt die Diffbarkeit der Grenzfunktion:
Reicht es hier einfach abzuleiten und daraus zu schließen, dass die Ableitung auf ganz R definiert ist?

Schau einfach, ob die Grenzfunktion differenzierbar ist.
 
 
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