Gleichheitsrelation über N

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Pasw1 Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichheitsrelation über N
Meine Frage:
Sehr geehrtes Matheboard,

Ich habe eine sehr kurze Frage zu einer Aufgabe aus unserem Mathevorkurs.
Und zwar geht es darum, Relationen auf ihre Eigenschaften zu prüfen. Auf folgende um genau zu sein:

Reflexiv,
Irreflexiv
Symmetrisch
Antisymmetrisch
Transitiv.

Es geht NICHT darum etwas zu beweisen etc,sondern einfach Ja/Nein anzugeben für je alle dieser Eigenschaften. Nun soll ich das auch für "die Relation = auf den natürlichen Zahlen" machen. Also die Gleichheitsrelation von N x N die im Skript als Teilmenge von N x N bezeichnet und gegeben wird durch {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3).

Meine Ideen:
Ich hatte dieses Thema zuvor noch nicht also bin ich davon ausgegangen, zurückblickend auf die Definition die mir gegeben wurde, dass ein "=" bei einer Relation einfach bedeutet, dass für jedes Element innerhalb der Menge gleichwertige Tupel gebildet werden {(a,a) (b,b) ...}.

Nun wird aber folgendes besagt:
Ich entschuldige mich für das nicht verwenden von Latex aber irgendwie erschien es nicht in meiner Vorschau)

Für = Teilmenge N x N gilt:

Reflexiv: Ja, das verstehe ich und es macht Sinn.
Irreflexiv: Nein, macht auch Sinn.
Symmetrisch: Ja.
Antisymmetrisch: Ja.
Transitiv: Ja.

Symmetrisch ist ja gegeben dadurch, dass wenn (a,b) enthalten ist, (b,a) auch Teil der Relation ist. Jedoch sind doch [a] und b zwei verschiedene Elemente oder? Und bei einer Gleichheitsrelation gibt es doch nur gleiche Tupel? Oder liegt in dieser Annahme Mein fehler?
Genau so verwirrt mich Antisymmetrisch, wegen a und b.
Und transitiv erst recht, da es ja ist, wenn (a,b) und (b,c) dann auch (a,c).

Die letzten drei Punkte sind mir in diesem Fall komplett fremd, vielleicht einfach weil ich ein Falsches Bild dieser Gleichheitsrelation habe. Für alle anderen habe ich es nämlich richtig gehabt und verstanden. Ich würde mich über jede Hilfe sehr freuen!

Lg

Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, du irrst in der Annahme, dass a,b verschieden sein müssen.

Aber noch etwas: selbst wenn das so wäre, dann wäre das auch nicht schlimm. Wenn es keine Elemente gibt, für die du die Aussage zeigen musst, ist die Aussage automatisch wahr. Denn es gibt ja kein Gegenbeispiel.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheitsrelation über N
Zitat:
Original von Pasw1
Symmetrisch ist ja gegeben dadurch, dass wenn (a,b) enthalten ist, (b,a) auch Teil der Relation ist. Jedoch sind doch [a] und b zwei verschiedene Elemente oder?

Das muss nicht sein. Dein Problem löst sich (hoffentlich) dadurch auf, dass dasselbe Element unter verschiedenen Benennungen/Bezeichnungen auftreten kann.

Nehmen wir die natürliche Zahl . Jetzt kann in einer Untersuchung eine Größe auftreten. Der möchten wir an einer Stelle den Wert geben. Also setzen wir per Definition . Und schon taucht die mit zwei Bezeichnungen auf. Aber auch bei



taucht dieselbe natürliche Zahl mit unterschiedlichen Bezeichnungen auf. Auf diese Weise macht auch die Transitivität für die Gleichheit Sinn. Aus


und



kann man folgern

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