Einsetzen einer Gleichung - Erweiterung der Lösungsmenge

16.07.2019, 17:44

EulerEuler

Einsetzen einer Gleichung - Erweiterung der Lösungsmenge

Meine Frage:
Unter welchen Bedingungen ist es erlaubt eine Gleichung in eine andere Gleichung einzusetzen ohne dass sich die Menge der Lösungen ändert?

Meine Ideen:
Man kann feststellen, dass das Einsetzen einer Gleichung in dieselbe Gleichung zusätzliche Lösungen erzeugen kann.

zum Beispiel:
y = 5 + 2
Setzt man für 5 + 2 die Gleichung 5 + 2 = y ein, so erhält man:
y = y
Damit wird die Gleichung nicht nur für y = 7, sondern für alle y erfüllt.

Es lässt sich auch erreichen, dass nur eine weitere Lösung erhalten wird.

zum Beispiel:
x*x + x + 1 = 0 (I)(zwei komplexe Lösungen, die nicht null sind)
Teilt man (I) durch x, so erhält man:
x + 1 + 1/x = 0 (II)
x + 1 = -1/x
Setzt man nun (II) in (I) ein und multipliziert mit x:
x*x - 1/x = 0
x**3 -1 = 0
x**3 = 1
Die letzte Gleichung hat neben den beiden komplexen Lösungen die Lösung x = 1, die die erste Gleichung (I) nicht löst.

Ich konnte nicht zeigen, ob es möglich ist, zusätzliche Lösungen zu erhalten, wenn eine Gleichung nicht in dieselbe Gleichung, sondern in eine andere eingesetzt wird.

16.07.2019, 18:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von EulerEuler
Ich konnte nicht zeigen, ob es möglich ist, zusätzliche Lösungen zu erhalten, wenn eine Gleichung nicht in dieselbe Gleichung, sondern in eine andere eingesetzt wird.

Setz doch mal $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ in die andere Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2=1 \end{eqnarray*}$ ein, da bekommst du $\begin{eqnarray*} 1=1 \end{eqnarray*}$ ... smile

Zitat:

Original von EulerEuler
Unter welchen Bedingungen ist es erlaubt eine Gleichung in eine andere Gleichung einzusetzen ohne dass sich die Menge der Lösungen ändert?

"Gleichung in andere Gleichung einsetzen" ist ziemlich pauschal. Du solltest dich eher auf andere äquivalente Gleichungsumformungen konzentrieren.

Z.T. kann man deine Beispiele auch in anderem Licht betrachten, z.B. das letztgenannte:

Im Prinzip hast du dort durch deine vielen Operationen eigentlich nichts weiter gemacht, als die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2+x+1=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (x-1) \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren, wodurch in dem entstehenden $\begin{eqnarray*} x^3-1=0 \end{eqnarray*}$ die Lösung $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ hinzugekommen ist. Augenzwinkern

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