Rotationskörper, Volumen eines Torus

17.07.2019, 17:11	OleggelO	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationskörper, Volumen eines Torus Hallo liebes Board, Berechnen Sie das Volumen des Torus, der entsteht, wenn die Ellipse $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{a^2} + \frac{(y-R)^2}{b^2} = 1 mit 0 < b < R \end{eqnarray}$ um die x Achse rotiert. Hierbei sind als Hinweise gegeben: Das das Integral in zwei Teile aufgespalten werden kann oder es können geometrische Argumente benutzt werden. Und bei der Berechnung des Volumens kann $\begin{eqnarray} x = a sin u \end{eqnarray}$ verwendet werden. Ich habe bei dem Anfang dieser Aufgabe noch ziemliche Schwierigkeiten, also das generelle Volumen eine Torus ist ja $\begin{eqnarray} V = 2\pi^2 r^2 R \end{eqnarray*}$ , allerdings bin ich etwas verwirrt da es sich hierbei ja um eine rotierende Ellipse handelt. Hätte hierbei vielleicht jemand ein paar Hinweise Gruß Oleg
18.07.2019, 00:26	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Guldinischen Regel* ist das Ganze ein Einzeiler. () Das Volumen ist gleich der rotierenden Fläche mal dem Weg des Schwerpunktes (Mittelpunktes). Die Ellipse hat den Mittelpunkt (Schwerpunkt der Fläche) bei $\begin{eqnarray} M(0; R) \end{eqnarray}$ , die Achsen $\begin{eqnarray} a, b \end{eqnarray}$ und somit ist deren Fläche $\begin{eqnarray} A = ab\pi \end{eqnarray}$ und der Weg des Schwerpunktes $\begin{eqnarray} 2R\pi \end{eqnarray}$ Die Ellipsenfläche (der Mittelpunktsellipse) ist zwar eine Grundformel, aber sie kann natürlich auch konventionell berechnet werden. Dazu wird die Ellipse in der Parameterform $\begin{eqnarray} x = a \cos \varphi; \ y = b \sin \varphi \end{eqnarray}$ angesetzt und $\begin{eqnarray} y = b \sin \varphi \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} x = a \cos \varphi \end{eqnarray}$ mit der Substitution $\begin{eqnarray} \dd x = -a \sin \varphi \dd \varphi \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ (partiell) integriert. In den Grenzen von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} \frac{\pi} 2 \end{eqnarray}$ ergibt sich dann für die Viertelellipse $\begin{eqnarray} \frac {ab\pi} 4 \end{eqnarray*}$ mY+

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