Rotationskörper, Volumen eines Torus

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OleggelO Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationskörper, Volumen eines Torus
Hallo liebes Board,

Berechnen Sie das Volumen des Torus, der entsteht, wenn die Ellipse

um die x Achse rotiert.

Hierbei sind als Hinweise gegeben:
Das das Integral in zwei Teile aufgespalten werden kann oder es können geometrische Argumente benutzt werden.
Und bei der Berechnung des Volumens kann verwendet werden.

Ich habe bei dem Anfang dieser Aufgabe noch ziemliche Schwierigkeiten, also das generelle Volumen eine Torus ist ja , allerdings bin ich etwas verwirrt da es sich hierbei ja um eine rotierende Ellipse handelt.

Hätte hierbei vielleicht jemand ein paar Hinweise

Gruß Oleg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Guldinischen Regel* ist das Ganze ein Einzeiler.

(*) Das Volumen ist gleich der rotierenden Fläche mal dem Weg des Schwerpunktes (Mittelpunktes).

Die Ellipse hat den Mittelpunkt (Schwerpunkt der Fläche) bei , die Achsen und somit ist deren Fläche und der Weg des Schwerpunktes

Die Ellipsenfläche (der Mittelpunktsellipse) ist zwar eine Grundformel, aber sie kann natürlich auch konventionell berechnet werden.
Dazu wird die Ellipse in der Parameterform angesetzt und nach aus mit der Substitution nach (partiell) integriert.
In den Grenzen von bis ergibt sich dann für die Viertelellipse

mY+
 
 
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