Interpolation mit Tschebyscheff-Stützstellen

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UniGuy Auf diesen Beitrag antworten »
Interpolation mit Tschebyscheff-Stützstellen
Guten Morgen,

ich beschäftige mich aktuell mit Interpolationen und Approximationen.

Die Ausgangssituation ist die folgende:
Eine Positionierung soll durch eine Steuerung umgesetzt werden. Der Verlauf der Position
konnte analytisch beschrieben/hergeleitet werden. Zudem liegt mir eine Stützwert-Tabelle für den Bewegungsablauf vor, die "händisch" ermittelt wurde, d.h. ungenauer ist als die analytische Variante.

Aufgrund von Software-Einschränkungen, kann der Bewegungsablauf nur als Stützwert-Tabelle oder als Polynom vom maximalen Grad eingetragen werden.

Die analytische Funktion habe ich bereits mit Hilfe einer Taylor-Reihe sowie mit der Lagrange-Interpolation angenähert. Die Ergebnisse sind auch zufriedenstellend. Die max. Abweichungen im Vergleich zur Original-Funktion betragen im Intervall nicht mehr als 1mm.
Für die Lagrange-Interpolation habe ich einfach äquidistante Stützwerte verwendet.



Ich möchte ebenfalls die händisch ermittelte Stützwert-Tabelle interpolieren. Mit einer Taylor-Reihe ist das natürlich nicht möglich. Deshalb habe ich erneut auf die
Lagrange-Interpolation zurückgegriffen. Wieder habe ich versucht, äquidistante Stützwerte zu verwenden. Allerdings war das nicht ganz möglich, weil die mir vorliegende Stützwert-Tabelle eine relativ grobe und nicht äquidistante Auflösung besitzt. Deshalb fiel die Wahl auf die folgenden Stützstellen:

Auch hier habe ich gute Ergebnisse erhalten.

Nun zu meinem Problem:
In der Literatur las ich von Tschebyscheff-Stützstellen. Diese Stützstellen sind nicht äquidistant verteilt und besitzen den Vorteil, durch sie eine genauere Interpolation zu erreichen. Der Nachteil ist, dass sie auf dem Intervall definiert sind.

Ich bin da jetzt blauäugig herangegangen: Ich habe mir die Tschebyscheff-Stützstellen für ein Polynom vom Grad berechnet und mit Hilfe einer Abbildung die Stützstellen nach transformiert.

Mit der Abbildungsvorschrift:
Die Stützwerte sind die Nullstellen der Tschebyscheff-Polynome:



Ich erhalte dann im Intervall die Stützstellen (1)

Führe ich nun wieder eine Lagrange-Interpolation mit den neuen Stützwerten aus, erhalte ich für die interpolierte, analytische Funktion erneut sehr gute Werte.
Anders ist es aber nun bei der vorgegebenen Stützwerttabelle. Wie erwähnt, ist die "Auflösung" nicht sehr hoch, weswegen ich die folgenden Stützwerte verwenden muss. Das sind jene Stützwerte aus der Tabelle, die am nächsten an den Tschebyscheff-Stützstellen liegen.

(2)
Eine Lagrange-Interpolation mit diesen Stützwerten ist wesentlich schlechter als die mit äquidistanten Stützstellen.

Deshalb stelle ich mir die Frage: Habe ich etwas falsch gemacht?
Kann ich einfach die Stützstellen mit Tschebyscheff berechnen im Intervall , dann die Stützstellen in das Intervall abbilden und dann einfach wie gewohnt eine Lagrange-Interpolation durchführen?

Oder muss ich die ganze Interpolation im Intervall mit den Tschebyscheff-Polynomen durchführen?

Leider habe ich dazu kein Beispiel gefunden und in der Literatur ist zu lesen, dass die Tschebyscheff-Stützstellen ja besser für eine Interpolation geeignet seien.

Ein anderer Gedanke wäre, dass es sich hier ja um einen relativ niedrigen Polynomgrad (6) handelt, die Tschebyscheff-Stützstellen keinen so großen Einfluss haben. Oder, dass meine Stützpunkt-Tabelle zu schlecht aufgelöst ist, als das ich Tschebyscheff-Stützstelle verwenden könnte (Vergleich: Stützstellen (1) = Soll und (2) = Ist).

Ich bin für jede Anregung dankbar!

PS: Wusste nicht genau, ob das Thema besser in Analysis oder Sonstiges (Optimierung) reinpasst.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation mit Tschebyscheff-Stützstellen
Der erste Teil ist mir verständlich. Du hast eine Funktion im Intervall und sie durch ein Polynom vom Grad 6 mit äquidistanten Stützstellen interpoliert mit einer zufriedenstellenden Genauigkeit. Später hast du das noch mit Tschebyscheff-Stützstellen gemacht ebenfalls mit guter Genauigkeit. Die sollte jetzt theoretisch sogar besser sein.

Aber was du mit der Stützwerttabelle gemacht hast und insbesondere, was du womit verglichen hast, ist mir ziemlich unklar. Du hast eine Tabelle , wobei nach meinem Verständnis ist. Ist das richtig?

Wenn dem so ist, dann weicht das Interpolationspolynom aus der Stützwerttabelle auch wegen dieses Unterschieds von ab und nicht nur durch die Wahl der Interpolationsstützpunkte.
UniGuy Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Ich habe die analytische Funktion die mein Problem genau beschreibt. Allerdings kann ich diese Funktion nicht in der Software abbilden, da:

Deshalb muss ich auf ein Polynom zurückgreifen, dessen Koeffizienten ich in die Software eingeben kann. Der Grad des Polynoms ist aber auf beschränkt.
Desweiteren habe ich eine Stützwert-Tabelle , die mehr oder weniger empirisch ermittelt wurde, und für deren Stützpunkte gilt:

Um das Problem zu vereinfachen, lassen wir im folgenden einfach außen vor und betrachten nur die Stützwerttabelle . Mit deren Hilfe möchte ich ein Interpolations- Polynom berechnen, das möglichst optimal anfittet.

Hinweis: Aktuell betrachte ich eigentlich die Stützwerttabelle und meine analytische Funktion getrennt voneinander. Aber zur Vereinfachung lassen wir mal im folgenden aus, da das - glaube ich - ehr zur Verwirrung führt.

Nun habe ich bereits mit Hilfe von Lagrange-Polynomen die Stützwerttabelle relativ gut an angefittet. Dazu habe ich in etwa äquidistante Stützstellen verwendet. Sie sind nicht ganz äquidistant, da dies die Tabelle nicht hergibt.


Ich las in der Literatur, dass mit Tschebyscheff-Stützwerten eine bessere Interpolation, vor allem bei Polynomen höherer Ordnung, erzielt werden kann. Diese Stützstellen sind nicht äquidistant verteilt, sondern so (als Literaturhinweis den Link unten betrachten):


Diese Stützstellen gelten allerdings nur im Intervall , weshalb ich erstmal meine x-Achse von auf abbilden muss. Hierfür gibt es (Umkehr-)Abbildungen:







Also habe ich diese Transformation durchgeführt und kam entsprechend auf die foldenen Tschebyscheff-Stützstellen:


Da meine Stützwert-Tabelle diese Werte nicht beinhaltet, habe ich die Werte der Tabelle verwendet, die am nächsten an den Tschebyscheff-Stützstellen liegen:


Mit diesen Stützstellen habe ich erneut eine Interpolation mit Lagrane-Polynomen durchgeführt. Das Resultat war deutlich schlechter, als mit den Stützwerten, die in etwa äquidistant waren.

Deshalb meine Fragen:
- Ist das theoretisch so richtig, was ich gemacht habe? Ich habe mir eigentlich durch die Tschebyscheff-Stützwerte einen besseren Fit erhofft
- Wenn der Fehler bei meiner Durchführung lag: Klappt das mit den Tschebyscheff-Stützstellen nur, wenn ich auch die Tschebyscheff-Interpolation verwende? Bzw. kann ich nicht mit Tschebyscheff die Stützwerte ausrechnen und diese dann für andere Interpolationverfahren verwenden?
- Wenn ich keinen Fehler gemacht habe: Woran liegt es, dass das Resultat deutlich schlechter ist, statt besser? An der groben "Auflösung" meiner Stützwert-Tabelle?



Link (Achtung, Direktdownload des PDF):
[Darf keine URLs posten. Mit der google-Suche "Tschebyscheff Interpolation" wird man aber fündig]
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von UniGuy
- Ist das theoretisch so richtig, was ich gemacht habe? Ich habe mir eigentlich durch die Tschebyscheff-Stützwerte einen besseren Fit erhofft
- Wenn der Fehler bei meiner Durchführung lag: Klappt das mit den Tschebyscheff-Stützstellen nur, wenn ich auch die Tschebyscheff-Interpolation verwende? Bzw. kann ich nicht mit Tschebyscheff die Stützwerte ausrechnen und diese dann für andere Interpolationverfahren verwenden?
- Wenn ich keinen Fehler gemacht habe: Woran liegt es, dass das Resultat deutlich schlechter ist, statt besser? An der groben "Auflösung" meiner Stützwert-Tabelle?

Dein Vorgehen ist korrekt. Auch die Umrechnung der T-Stützstellen aus dem Intervall auf das Intervall stimmt, obwohl in der angegebenen Formel



ein Fehler ist, vermutlich Schreibfehler, da die Zahlenwerte passen. Korrekt ist



Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Polynomint...ch_Tschebyschow[2]

Das Interpolationspolynom kleinsten Grades, das durch eine vorgebene Zahl von Stützstellen geht, ist eindeutig bestimmt. Es spielt also keine Rolle, ob man es aus den Basispolynomen oder den T-Polynomen zusammensetzt. Es ergibt sich immer dasselbe Interpolationspoynom.

Bei der Interpolation mit T-Stützstellen ist der maximale Fehler am kleinsten. Das bedeutet nicht, dass der reale Fehler bei einer konkreten Interpolation kleiner ist als der Fehler bei einer Interpolation mit anderen Stützstellen. Der reale Fehler ist ja üblicherweise kleiner als der maximal mögliche Fehler. Es kann also durchaus passieren, dass der reale Fehhler bei äquidistanten Stützstellen kleiner ist als bei der Interpolation mit T-Stützstellen.

Auch wenn , so besteht doch keine Gleichheit. Dieser Unterschied kann durchaus die Abweichung des Interpolationspolynoms von vergrößern.
UniGuy Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank für Deine Hilfe!

Zur Formel: Die habe ich so aus einer Quelle verwendet. Leider kann ich (noch) keine Links posten. Bei google "Tschebyscheff Interpolation", dann den 5. Link (Uni Ulm) auf Seite 59.

Ein Unterschied in meiner Quelle und bei Wikipedia ist der Index .

Hier würde ich wählen: , um 7 Stützstellen zu erhalten.

Wikipedia:

Hier würde ich wählen: , um 7 Stützstellen zu erhalten.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja nun kein wirklicher inhaltlicher Unterschied, denn die Formeln sind per identisch, wenn man den Wikipedia-Parameter zu umbenennt.
 
 
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