Erwartung

18.07.2019, 13:37

Simon321

Erwartung

Hallo,
es geht um folgenden Satz: Sei $\begin{eqnarray*} E(X|G) \end{eqnarray*}$ ist eine G-messbare ZG auf $\begin{eqnarray*} (\Omega,F,P) \end{eqnarray*}$

Ich will zeigen: $\begin{eqnarray*} \int_A E[X|G] (\omega) dP = \int_A X(\omega) dP \end{eqnarray*}$

Beweis:
Betrachte ein $\begin{eqnarray*} \omega_i \in A_i \end{eqnarray*}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \int_{A_i} E[X|G] (\omega) dP=P(A_i) E[X|G](\omega_i) \end{eqnarray*}$
Warum gilt diese Gleichheit?

18.07.2019, 13:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Simon321
Ich will zeigen: $\begin{eqnarray*} \int_A E[X|G] (\omega) dP = \int_A X(\omega) dP \end{eqnarray*}$

Das stimmt so nur für $\begin{eqnarray*} A\in G \end{eqnarray*}$ . Und zeigen muss man da eigentlich nichts, denn so ist die bedingte Erwartung meines Wissens nach überhaupt erst definiert: Durch diese Forderung sowie die $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ -Messbarkeit!

Oder wie anders habt ihr bedingte Erwartung definiert, dass ihr das hier als Folgerung anseht? verwirrt

18.07.2019, 13:55

Simon321

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Hallo,
ich habe mich an einem Skript aus dem Internet orientiert. Leider kann ich den Link nicht posten. Angenommen die Aussage gilt nach Definition, wie beweise ich z.b $\begin{eqnarray*} E[c|G]=c \end{eqnarray*}$ mit einer Konstanten c.

Die Frage ist: Nehme ich da die Defintion der bedingten Erwartung oder die des bedingten Erwartungswertes?

18.07.2019, 14:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von Simon321
Betrachte ein $\begin{eqnarray*} \omega_i \in A_i \end{eqnarray*}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \int_{A_i} E[X|G] (\omega) dP=P(A_i) E[X|G](\omega_i) \end{eqnarray*}$

Kann es sein, dass du hier ganz wichtige Informationen zu $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ verschweigst? Ich könnte mir vorstellen, dass hier $\begin{eqnarray*} G = \sigma(\{A_1,A_2,\ldots\}) \end{eqnarray*}$ gemeint ist, wobei $\begin{eqnarray*} A_1,A_2,\ldots \end{eqnarray*}$ eine höchstens abzählbare Zerlegung des Grundraums $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist, d.h. $\begin{eqnarray*} A_i\cap A_j=\emptyset \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = \Omega \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Simon321
Nehme ich da die Defintion der bedingten Erwartung oder die des bedingten Erwartungswertes?

Ich sehe da keinen Unterschied. Vielleicht packst du (wie oben schon gefordert) mal die Karten auf den Tisch und nennst diese ominösen Definitionen.

18.07.2019, 14:09

Simon321

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Zitat:

Original von HAL 9000

Kann es sein, dass du hier ganz wichtige Informationen zu $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ verschweigst? Ich könnte mir vorstellen, dass hier $\begin{eqnarray*} G = \sigma(\{A_1,A_2,\ldots\}) \end{eqnarray*}$ gemeint ist, wobei $\begin{eqnarray*} A_1,A_2,\ldots \end{eqnarray*}$ eine höchstens abzählbare Zerlegung des Grundraums $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist, d.h. $\begin{eqnarray*} A_i\cap A_j=\emptyset \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = \Omega \end{eqnarray*}$ .

Ja so ist es. Wie würde die Gleichheit zuvor dann folgen?

Die Definitionen sind: X eine ZG auf $\begin{eqnarray*} (\Omega, F,P) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} E[|X|| \end{eqnarray*}$ endlich. Für jedes $\begin{eqnarray*} A \in F, P(A)>0 ist \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} E[X|A] = \frac{1}{P(A)} \int_A X(\omega) dP \end{eqnarray*}$ bedingter Erwartungswert von X.

Andererseits: Sei $\begin{eqnarray*} G \subset F \end{eqnarray*}$ , X ZG mit $\begin{eqnarray*} E[|X|| \end{eqnarray*}$ endlich. Die ZG $\begin{eqnarray*} E[X|G] \end{eqnarray*}$ ist bedingte Erwartung, falls $\begin{eqnarray*} \int_A E[X|G](\omega) dP= \int_A X(\omega) dP \ \forall A \in G \end{eqnarray*}$

18.07.2019, 14:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Simon321
Die ZG $\begin{eqnarray*} E[X|G] \end{eqnarray*}$ ist bedingte Erwartung, falls $\begin{eqnarray*} \int_A E[X|G](\omega) dP= \int_A X(\omega) dP \ \forall A \in G \end{eqnarray*}$

Na sag ich doch, Definition der bedingten Erwartung. Wieso willst du das jetzt noch beweisen, wo es doch die Definition ist? verwirrt

18.07.2019, 14:42

Simon321

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Zitat:

Original von Simon321
Angenommen die Aussage gilt nach Definition, wie beweise ich z.b $\begin{eqnarray*} E[c|G]=c \end{eqnarray*}$ mit einer Konstanten c.

Die Frage ist: Nehme ich da die Defintion der bedingten Erwartung oder die des bedingten Erwartungswertes?

Wie mache ich das dann?

18.07.2019, 15:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von Simon321
Angenommen die Aussage gilt nach Definition, wie beweise ich z.b $\begin{eqnarray*} E[c|G]=c \end{eqnarray*}$ mit einer Konstanten c.

Per Definition ist $\begin{eqnarray*} E[X\mid G] = X \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bereits $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ -messbar ist. Eine Konstante $\begin{eqnarray*} X=c \end{eqnarray*}$ ist bzgl. JEDER Sigma-Algebra messbar, also auch bzgl. $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Im Fall deines "diskreten" $\begin{eqnarray*} G = \sigma(\{A_1,A_2,\ldots\}) \end{eqnarray*}$ ist das mit der bedingten Erwartung doch noch recht einfach zu greifen:

Die für alle $\begin{eqnarray*} A\in G \end{eqnarray*}$ zu geltende definierende Bedingung $\begin{eqnarray*} \int\limits_{A} E[X\mid G](\omega) ~ \dd P(\omega) = \int\limits_{A} X(\omega) ~ \dd P(\omega) \end{eqnarray*}$ muss einfach für alle $\begin{eqnarray*} A=A_i \end{eqnarray*}$ gelten, dann gilt sie automatisch auch für alle $\begin{eqnarray*} A\in G \end{eqnarray*}$ . Und für $\begin{eqnarray*} A=A_i \end{eqnarray*}$ bedeutet sie wegen der Konstanz von $\begin{eqnarray*} E[X\mid G](\omega) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ (folgt aus der $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ -Messbarkeit) dann per Rausziehen aus dem Integral für alle $\begin{eqnarray*} \omega'\in A_i \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} E[X\mid G](\omega')\cdot \int\limits_{A_i} ~ \dd P(\omega) = \int\limits_{A_i} X(\omega) ~ \dd P(\omega) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E[X\mid G](\omega')\cdot P(A_i) = \int\limits_{A_i} X(\omega) ~ \dd P(\omega) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E[X\mid G](\omega') = \frac{1}{P(A_i)} \int\limits_{A_i} X(\omega) ~ \dd P(\omega)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

In "feiner abgestuften" Sigma-Algebren $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist das leider nicht mehr so einfach möglich, schon weil da i.d.R. $\begin{eqnarray*} P(A_i)=0 \end{eqnarray*}$ für die "atomaren" erzeugenden Ereignisse gilt - daher wäre (*) zwar für solche einfachen diskreten $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ als Definition der bedingten Erwartung schön direkt und einfach, aber für allgemeine $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist das eben leider untauglich.

18.07.2019, 19:18

Simon321

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Hallo, vielen Dank für deine ausführliche Antwort.

Zitat:

Original von HAL 9000

Angenommen die Aussage gilt nach Definition, wie beweise ich z.b $\begin{eqnarray*} E[c|G]=c \end{eqnarray*}$ mit einer Konstanten
Per Definition ist $\begin{eqnarray*} E[X\mid G] = X \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bereits $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ -messbar ist. Eine Konstante $\begin{eqnarray*} X=c \end{eqnarray*}$ ist bzgl. JEDER Sigma-Algebra messbar, also auch bzgl. $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

Welche Definition verwendest du hier. Wsl die von der bedingten Erwartung. Aber wo kommt dann das Integral vor? Sorry ich stehe gerade wohl auf der Leitung.

18.07.2019, 19:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von Simon321
Welche Definition verwendest du hier?

Na die hier:

Zitat:

Denn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist zum einen G-messbar und erfüllt zum anderen trivialerweise dann $\begin{eqnarray*} \int_A X(\omega) dP= \int_A X(\omega) dP \end{eqnarray*}$ .

18.07.2019, 20:03

Simon321

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Danke, dann liegt mein Problem darin zu verstehen, warum $\begin{eqnarray*} E[X|G]=X \end{eqnarray*}$

Es wäre doch $\begin{eqnarray*} \int_A E[c|G] dP=\int_A c dP = c \cdot \int_ A dP \end{eqnarray*}$ ?

18.07.2019, 21:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Simon321
Danke, dann liegt mein Problem darin zu verstehen, warum $\begin{eqnarray*} E[X|G]=X \end{eqnarray*}$

Das habe ich doch gerade gesagt, aber es dringt anscheinend nicht durch...

Nochmal: Jede Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , die die beiden Bedingungen

1) $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ -messbar, und

2) $\begin{eqnarray*} \int\limits_A Y ~ \dd P = \int\limits_A X ~ \dd P \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A\in G \end{eqnarray*}$

erfüllt, nennt man bedingte Erwartung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ unter Bedingung $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , symbolisch $\begin{eqnarray*} Y=E[X\mid G] \end{eqnarray*}$ .

Im Fall eines bereits $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ -messbaren $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ erfüllt eben die Wahl von $\begin{eqnarray*} Y=X \end{eqnarray*}$ diese beiden Bedingungen!!!!! Somit ist in diesem Fall tatsächlich $\begin{eqnarray*} E[X\mid G]=X \end{eqnarray*}$ .

19.07.2019, 10:57

Simon321

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Zitat:

Original von HAL 9000

Im Fall eines bereits $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ -messbaren $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ erfüllt eben die Wahl von $\begin{eqnarray*} Y=X \end{eqnarray*}$ diese beiden Bedingungen!!!!! Somit ist in diesem Fall tatsächlich $\begin{eqnarray*} E[X\mid G]=X \end{eqnarray*}$ .

Meinst du mit X die konstante Zufallsgröße c?. Es ist klar, dass diese messbar ist. Jedoch wählst du einmal $\begin{eqnarray*} Y=X \end{eqnarray*}$ und andereseits $\begin{eqnarray*} Y= E[X|G] \end{eqnarray*}$ . Ich verstehe das nicht. Es tut mir wirklich leid. Du gibts dir so viel Mühe.

19.07.2019, 11:03

HAL 9000

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Ich rede von allgemein G-messbaren $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Der Sonderfall "konstante X" fällt aber als Spezialfall darunter.

Besser als im letzten Beitrag kann ich es nicht erklären. Lass es mal sacken, lies es dann erneut durch im Lichte der Definition.

Zitat:

Original von Simon321
Jedoch wählst du einmal $\begin{eqnarray*} Y=X \end{eqnarray*}$ und andereseits $\begin{eqnarray*} Y= E[X|G] \end{eqnarray*}$ .

Nein: Ich erkenne, dass für $\begin{eqnarray*} Y=X \end{eqnarray*}$ die beiden Bedingungen der Definition erfüllt sind, und deswegen IST dann dieses $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ die bedingte Erwartung $\begin{eqnarray*} E[X\mid G] \end{eqnarray*}$ , so wird kausalmäßig ein Schuh draus.

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Zur Vertiefung:

Bedingung 2) wird natürlich IMMER von $\begin{eqnarray*} Y=X \end{eqnarray*}$ erfüllt, na klar. Bei 1) ist das i.a. jedoch nicht der Fall:

Eine beliebige Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ im W-Raum ist per Definition $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ -messbar, aber nicht notwendig $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ -messbar. D.h., fehlt die $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ -Messbarkeit, dann ist natürlich NICHT $\begin{eqnarray*} E[X\mid G] = X \end{eqnarray*}$ .

Hast du überhaupt mal eine solche bedingte Erwartung berechnet, in einem einfachen diskreten Fall? Betrachten wir beispielsweise den Wurf eines ungezinkten Würfels, d.h. $\begin{eqnarray*} \Omega=\{1,2,3,4,5,6\},F=\wp(\Omega),P(A)=\frac{|A|}{6} \end{eqnarray*}$ .

Nun sei $\begin{eqnarray*} X(\omega)=\omega \end{eqnarray*}$ die Augenzahlzufallsgröße sowie $\begin{eqnarray*} A_1=\{1\},A_2=\{2,3,4\},A_3=\{5,6\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G=\sigma(\{A_1,A_2,A_3\}) \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} E[X\mid G](1) = X(1) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E[X\mid G](\omega) = \frac{1}{3}\left(X(2)+X(3)+X(4)\right) = 3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \omega\in\{2,3,4\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E[X\mid G](\omega) = \frac{1}{2}\left(X(5)+X(6)\right) = 5.5 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \omega\in\{5,6\} \end{eqnarray*}$ .

D.h., $\begin{eqnarray*} E[X\mid G] \end{eqnarray*}$ ist eine neue Zufallsgröße, welche die drei möglichen Werte 1, 3 und 5.5 annehmen kann. Das kann man sich gedanklich vorstellen als einen Würfel mit neuer Augenzahlbeschriftung:
- Die 1 lässt man.
- 2,3 und 4 ersetzt man durch den Mittelwert der drei, also jeweils 3.
- 5 und 6 ersetzt man durch den Mittelwert der zwei, also jeweils 5.5.

Das ist es also, was eine bedingte Erwartung macht: Sie "mittelt" die Ausgangszufallsgröße aus über den atomaren Grundmengen der gegenüber $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ vergröberten Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Die Konstantheit auf den atomaren Grundmengen ist ein Gebot der G-Messbarkeit (1), und dass dieser Konstantwert durch Ausmittelung entsteht, ergibt die Integralforderung (2).

Ist nun aber $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bereits $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ -messbar, dann ist diese Ausmittelung bereits vollzogen, und damit IST eben bereits $\begin{eqnarray*} X = E[X\mid G] \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe, diese Gedanken und vor allem auch das Beispiel tragen ein wenig zum Verständnis der bedingten Erwartung bei.

19.07.2019, 16:23

Simon321

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Wow vielen Dank Hal für deine äußerst ausfühliche und tolle Erklärung smile

Ich hätte noch eine Frage:

Zitat:

Original von HAL 9000

Die Konstantheit auf den atomaren Grundmengen ist ein Gebot der G-Messbarkeit (1), und dass dieser Konstantwert durch Ausmittelung entsteht, ergibt die Integralforderung (2).

Mit der Konstantheit auf den atomaren Grundmengen sind ja dann in deinem Beispiel deine Menge $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ gemeint.
Aber wie genau folgt die Konstanz der bedingten Erwartung aufgrund der G-Messbarkeit.
Urbilder messbarere Mengen müssen entsprechend in G liegen. Wenn man das triviale $\begin{eqnarray*} G= \{ \emptyset, \Omega \} \end{eqnarray*}$ wählt, können nur konstante Abbildungen die G-Messbarkeit garantieren. Kommt das daher?

19.07.2019, 16:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Simon321
Aber wie genau folgt die Konstanz der bedingten Erwartung aufgrund der G-Messbarkeit.

Konstanz auf den atomaren Mengen $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ meinst du damit, oder? Sei $\begin{eqnarray*} Y=E[X\mid G] \end{eqnarray*}$ .

Indirekter Beweis: Angenommen, es gibt ein $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \omega_1,\omega_2\in A_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Y(\omega_1)\neq Y(\omega_2) \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt für $\begin{eqnarray*} y_1:=Y(\omega_1) \end{eqnarray*}$ dann auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} \omega_1\in Y^{-1}(\{y_1\}) \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} Y^{-1}(\{y_1\}) \end{eqnarray*}$ muss der Messbarkeit wegen in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ liegen. Nun ist dein $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ja so konstruiert, dass es keine echten nichtleeren Teilmengen der $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ enthält (deswegen ja das Attribut "atomar" für diese Mengen), d.h., aus $\begin{eqnarray*} \omega_1\in Y^{-1}(\{y_1\}) \end{eqnarray*}$ folgt wegen $\begin{eqnarray*} \omega_1\in A_i \end{eqnarray*}$ zwingend $\begin{eqnarray*} A_i\subseteq Y^{-1}(\{y_1\}) \end{eqnarray*}$ , damit ist aber auch $\begin{eqnarray*} Y(\omega_2)=y_1 \end{eqnarray*}$ , Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} Y(\omega_1)\neq Y(\omega_2) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Simon321
Wenn man das triviale $\begin{eqnarray*} G= \{ \emptyset, \Omega \} \end{eqnarray*}$ wählt, können nur konstante Abbildungen die G-Messbarkeit garantieren.

Korrekt: Messbarkeit bzgl. dieser trivialen Sigma-Algebra ist gleichbedeutend mit Konstantheit. Freude

19.07.2019, 17:25

Simon321

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Alles klar. Nochmals danke Hal.

Könnten man das mit $\begin{eqnarray*} E[c|G]=c \end{eqnarray*}$ auch direkt einfach einsetzen. Müsste ja das gleiche sein.

Zitat:

Original von HAL 9000

$\begin{eqnarray*} E[X\mid G](\omega') = \frac{1}{P(A_i)} \int\limits_{A_i} X(\omega) ~ \dd P(\omega)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

In "feiner abgestuften" Sigma-Algebren $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist das leider nicht mehr so einfach möglich, schon weil da i.d.R. $\begin{eqnarray*} P(A_i)=0 \end{eqnarray*}$ für die "atomaren" erzeugenden Ereignisse gilt - daher wäre (*) zwar für solche einfachen diskreten $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ als Definition der bedingten Erwartung schön direkt und einfach, aber für allgemeine $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist das eben leider untauglich.

Dann wäre $\begin{eqnarray*} E[c\mid G](\omega') = \frac{1}{P(A)} \int_A c d P = c \end{eqnarray*}$

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