Löwenheim-Skolem Theorem

19.07.2019, 10:51	Logic_Starter	Auf diesen Beitrag antworten »
Löwenheim-Skolem Theorem Hallo, kann mir bitte jemand auf verständliche weise erklären (habe kein Hintergrund in mathematischer Logik), welches Konsequenzen das Löwenheim-Skolem Theorem hat: " If a statement/axiom (z.B. $\begin{eqnarray} \forall a,b: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray}$ ) or finite number of statements is valid/true for a certain interpretation/model (z.B. eine Menge $\begin{eqnarray} J \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} a,b\in J \end{eqnarray}$ aus dem obigen Bsp in dieser Menge liegen) then it's true in a countable submodel ( $\begin{eqnarray} \exists I: I\subset J \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ gilt). " Ich habe in den Klammern meine "vereinfachte" Interpretation der obigen Aussagen/Begriffe eingefügt. Auf Wikipedia (Satz von Löwenheim SKolem) steht zwar etwas zu den Konsequenzen, die jedoch nicht verstehe. "Ein im Vergleich zu dem Satz von Löwenheim und Skolem leicht zu beweisendes Resultat der Modelltheorie besagt: Wenn eine Menge von Aussagen durch ein bestimmtes unendliches Modell erfüllt ist, so ist sie immer auch durch ein Modell mit einer größeren Domäne erfüllt. Zusammen mit dem Satz von Löwenheim-Skolem ergibt sich, dass eine abzählbare Aussagenmenge, die überhaupt ein unendliches Modell hat, immer auch ein Modell mit einer abzählbar unendlich großen Domäne hat. Aus dem Satz folgt u. a., dass mittels Prädikatenlogik erster Stufe keine unendlichen Strukturen (insbesondere die natürlichen Zahlen) in bis auf Isomorphie eindeutiger Weise beschrieben werden können. " Grüße
19.07.2019, 15:49	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ eine FO-Theorie, die ein unendliches Modell $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ besitzt. Nach der Abwärts-Variante von Löwenheim-Skolem hat $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ ein abzählbares Modell und nach der Aufwärts-Variante gibt es für jede Kardinalzahl $\begin{eqnarray} \kappa > \|\mathcal A\| \end{eqnarray}$ ein Modell von $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ mit Kardinalität $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ . Insbesondere hat damit die Theorie der natürlichen Zahlen ein Modell der Kardinalität $\begin{eqnarray} \|\mathbb R\| \end{eqnarray}$ und die Theorie der reellen Zahlen besitzt ein abzählbares Modell. Somit können in FO unendliche Strukturen nicht bis auf Isomorphie charakterisiert werden.

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