Faltung

20.07.2019, 00:00	Max354	Auf diesen Beitrag antworten »
Faltung Hallo, ich habe 2 Zufallsgrößen X,Y, die gleich verteilt auf [0,1] sein sollen, gegeben: Ich will die Dichte $\begin{eqnarray} f_{X+Y} \end{eqnarray}$ über die Faltung bestimmen. Dazu wird der Fall $\begin{eqnarray} 1<a \leq 2 \end{eqnarray}$ unterschieden. Es ergibt sich: $\begin{eqnarray} f_{X+Y} = \int_{\mathbb{R}} f_X(a-y) f_Y(y) dy = \int_{a-1}^a f_X(a-y) f_Y(y) dy \end{eqnarray}$ Wie kommen dort die Grenzen zustande?
20.07.2019, 12:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ursprünglich sind die Grenzen $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ . Wenn man allerdings zwecks Ausrechnen da $\begin{eqnarray} f_Y(y)=1 \end{eqnarray}$ einsetzen will, muss man den Integrationsbereich auf $\begin{eqnarray} 0\leq y\leq 1 \end{eqnarray}$ reduzieren. Will man außerdem auch $\begin{eqnarray} f_X(a-y)=1 \end{eqnarray}$ einsetzen, geht das nur für $\begin{eqnarray} 0\leq a-y\leq 1 \end{eqnarray}$ , nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ umgestellt heißt das $\begin{eqnarray} a-1\leq y\leq a \end{eqnarray}$ . Insgesamt bedeutet das für $\begin{eqnarray} 1\leq a\leq 2 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f_{X+Y}(a) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_X(a-y) f_Y(y) ~ \dd y = \int\limits_0^1 f_X(a-y) ~ \dd y = \int\limits_{\max(a-1,0)}^{\min(a,1)} ~ \dd y = \int\limits_{a-1}^1 ~ \dd y = 1-(a-1) = 2-a \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} 0\leq a\leq 1 \end{eqnarray}$ sieht die Rechnung zunächst nahezu genauso aus, erst die min/max-Berechnungen der Integralgrenzen führen in andere Pfade: $\begin{eqnarray} f_{X+Y}(a) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_X(a-y) f_Y(y) ~ \dd y = \int\limits_0^1 f_X(a-y) ~ \dd y = \int\limits_{\max(a-1,0)}^{\min(a,1)} ~ \dd y = \int\limits_0^a ~ \dd y = a \end{eqnarray}$ .
20.07.2019, 19:40	Max354	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar vielen Dank

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