Thaleskreis

20.07.2019, 00:17

klauss

Thaleskreis

Hatte heute bei einem Schüler folgende Aufgabe zu lösen (Bild wie unten war vorgegeben):

Im Halbkreis über der Strecke AB mit dem Mittelpunkt M wird der Punkt B mit einem beliebigen Punkt C auf dem Kreisbogen verbunden.
Zur Strecke BC wird das Lot durch M gefällt und dessen Schnittpunkt mit dem Kreis als Punkt D bezeichnet.
Bei welchem Winkel $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ist CD || AB?

Um auf die richtige Lösung zu kommen, haben wir dann doch geraume Zeit zugebracht mit zusätzlicher Skizze, Überlegungen und Schlußfolgerungen am gleichschenkligen Trapez, ich hatte aber die Befürchtung, dass dieser Weg etwas zu umfangreich für die 7. Klasse (Gymnasium) sein könnte, obwohl es sich um eine Aufgabe aus dem Buch handelte, die vielleicht nicht unbedingt in einer Schulaufgabe drankommen würde.

Was wäre der einfachste, schnellste Lösungsweg, den ich bisher übersehen habe?

20.07.2019, 01:51

HAL 9000

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Die Lotgerade $\begin{eqnarray*} MD \end{eqnarray*}$ ist zusätzlich auch Winkelhalbierende von $\begin{eqnarray*} \angle BMC \end{eqnarray*}$ , damit folgt $\begin{eqnarray*} |\angle AMC| = 180^{\circ}-2|\angle BMD| \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} CD\parallel AB \end{eqnarray*}$ impliziert nun $\begin{eqnarray*} |\angle AMC| = |\angle BMD| \end{eqnarray*}$ , was mit der eben aufgestellten Gleichung $\begin{eqnarray*} |\angle BMD| = 60^{\circ} \end{eqnarray*}$ bedeutet, in der Folge $\begin{eqnarray*} \beta = 30^{\circ} \end{eqnarray*}$ .

20.07.2019, 02:35

klauss

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Ja, das ist gut. Da habe ich von BMC gar keinen Gebrauch gemacht. Danke.

20.07.2019, 02:43

thales19

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Vielleicht kann man den Winkel beta auch durch das gleichseitige Dreieck MBD nachweisen, welches durch den zweiten Thaleskreis rechts daneben folgt.
Damit muss in M ein 60° Winkel sein, wodurch sich im Dreieck MBS der Winkel beta mit 30° ergibt.

20.07.2019, 02:55

klauss

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Zitat:

Original von thales19
Vielleicht kann man den Winkel beta auch durch das gleichseitige Dreieck MBD nachweisen

Kann man. Darauf liefs dann bei mir hinaus, nur über das besagte Trapez.

21.07.2019, 11:10

Leopold

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Eine nette Knobelaufgabe für die 7. Klasse.
Hier eine weitere Variante.
[attach]49510[/attach]
Das Trapez, von dem die Rede war, ist letztlich ein halbes regelmäßiges Sechseck, aus dem diese Aufgabe rückwärts gestellt wurde.

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