Differentialgleichung Federschwinger

21.07.2019, 12:30

SM!LE

Differentialgleichung Federschwinger

Guten Tag,

ich sitze gerade an einer Aufgabe aus dem Anwendungsgebiet der Physik und komme nicht wirklich weiter.
Ich komme eigentlich aus der Elektrotechnik und habe da mit dem Aufstellen und Lösen von DGL keine Probleme nur bin ich etwas überfordert damit, das ganze in die Mechanik zu übertragen und würde mich über jede Hilfe freuen.

An einer Feder befindet sich eine Masse $\begin{eqnarray*} m=0,1kg \end{eqnarray*}$ . Diese Feder wird um $\begin{eqnarray*} x_m=5cm \end{eqnarray*}$ zusammengedrückt und dann losgelassen. (Reibung und Gewichtskraft werden vernachlässigt)

a) Bewegungsgleichung für die Masse $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ aufstellen
b) Federkonstante k berechnen wenn Platte harmonisch mit einer Periodendauer von $\begin{eqnarray*} T=0,5s \end{eqnarray*}$ schwingt
c) max. Geschindigkeit $\begin{eqnarray*} v_m \end{eqnarray*}$ und max. Beschleunigung $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ der Platte während der Schwinung berechnen

zu a) $\begin{eqnarray*} \sum{F}=m\cdot a \Rightarrow -k\cdot x_m=m\cdot \ddot{x}\Rightarrow 0=\ddot{x}+\frac{k}{m}\cdot x_m \end{eqnarray*}$

Wäre das so korrekt oder habe ich mir das zu einfach gemacht?

zu b) hier bin ich mir nicht sicher. Muss ich die DGL lösen oder klappt auch folgender Ansatz?

$\begin{eqnarray*} 2\pi\cdot \frac{1}{T}=\sqrt{\frac{k}{m}}\Rightarrow k=\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2\cdot m \end{eqnarray*}$

c) spätestens hier muss ich die DGL lösen oder ?

und die Lösung dann einmal ableiten für die Geschwindigkeit und zweimal für die Beschleunigung oder ?

Das wäre meine Lösung der DGL:

$\begin{eqnarray*} x=c\cdot \left(cos(\omega t)+j\cdot sin(\omega t)\right)=A~sin(\omega t)+B~cos(\omega t) \end{eqnarray*}$

Passt das so ?

$\begin{eqnarray*} v=\dot{x}=\omega\cdot A~cos(\omega t)-\omega\cdot B~sin(\omega t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=\ddot{x}=\omega^2\cdot B~cos(\omega t)-\omega^2\cdot A~sin(\omega t) \end{eqnarray*}$

Mit freundlichen Grüßen
SM!LE

21.07.2019, 12:48

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differentialgleichung - Physik Anwendung - Federschwinger

Zitat:

Original von SM!LE

zu a) $\begin{eqnarray*} \sum{F}=m\cdot a \Rightarrow -k\cdot x_m=m\cdot \ddot{x}\Rightarrow 0=\ddot{x}+\frac{k}{m}\cdot x_m \end{eqnarray*}$

Wäre das so korrekt oder habe ich mir das zu einfach gemacht?

Im Prinzip ok, mich stört nur der Index m an dem x.

Zitat:

Original von SM!LE
zu b) hier bin ich mir nicht sicher. Muss ich die DGL lösen oder klappt auch folgender Ansatz?

$\begin{eqnarray*} 2\pi\cdot \frac{1}{T}=\sqrt{\frac{k}{m}}\Rightarrow k=\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2\cdot m \end{eqnarray*}$

Die Korrektheit des Ansatzes ergibt sich aus der Lösung der DGL. Somit solltest du diese zuerst lösen.

Zitat:

Original von SM!LE
Das wäre meine Lösung der DGL:

$\begin{eqnarray*} x=c\cdot \left(cos(\omega t)+j\cdot sin(\omega t)\right)=A~sin(\omega t)+B~cos(\omega t) \end{eqnarray*}$

Passt das so ?

Nun ja, das ist eher eine sehr allgemeine Lösung. Für die Konstanten A, B und Omega solltest du genauere Werte angeben.

21.07.2019, 14:36

SM!LE

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differentialgleichung - Physik Anwendung - Federschwinger

Zitat:

Original von klarsoweit

Im Prinzip ok, mich stört nur der Index m an dem x.

Habe ich da einen Fehler gemacht ? Die Federkraft ist ja abhängig von der Auslenkung und somit auch die Beschleunigung oder? $\begin{eqnarray*} x_m \end{eqnarray*}$ so war der Wert zumindest im Text gegeben, also den Index hab ich nicht selbst gewählt.
Oder ist das so richtig und dich stört nur die Bezeichnung der Variable?

Zitat:

Original von klarsoweit

Die Korrektheit des Ansatzes ergibt sich aus der Lösung der DGL. Somit solltest du diese zuerst lösen.

Sorry ich hatte die DGL zu dem Zeitpunkt schon soweit gelöst, dass ich wusste:

$\begin{eqnarray*} \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} \end{eqnarray*}$

b) wäre dann soweit richtig ?

Zitat:

Original von klarsoweit

Nun ja, das ist eher eine sehr allgemeine Lösung. Für die Konstanten A, B und Omega solltest du genauere Werte angeben.

Da ist aktuell auch mein Problem.
In der Elektrotechnik die Anfangswerte zu bestimmen fällt mir irgendwie leichter als hier.
Ich würde zu aller erst sagen, dass $\begin{eqnarray*} x(t=0)=0 \end{eqnarray*}$ ist und die Beschleunigung also $\begin{eqnarray*} \ddot{x}(t=0)=0 \end{eqnarray*}$ ?
Oder stimmt das nicht?

Vielen Dank für deine schnelle Hilfe.

21.07.2019, 15:20

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differentialgleichung - Physik Anwendung - Federschwinger

Zitat:

Original von SM!LE
Habe ich da einen Fehler gemacht ? Die Federkraft ist ja abhängig von der Auslenkung und somit auch die Beschleunigung oder? $\begin{eqnarray*} x_m \end{eqnarray*}$ so war der Wert zumindest im Text gegeben, also den Index hab ich nicht selbst gewählt.
Oder ist das so richtig und dich stört nur die Bezeichnung der Variable?

Nun ja, bei der Beschleunigung $\begin{eqnarray*} \ddot x \end{eqnarray*}$ ist kein Index dran. Und da frage ich, warum nimmt man die Variable x mal ohne und mal mit Index. Und was soll dann dieser Index aussagen? Ist denn im Eingangspost der komplette originale Aufgabentext?

Zitat:

Original von SM!LE
b) wäre dann soweit richtig ?

Ja.

Zitat:

Original von SM!LE
Da ist aktuell auch mein Problem.
In der Elektrotechnik die Anfangswerte zu bestimmen fällt mir irgendwie leichter als hier.
Ich würde zu aller erst sagen, dass $\begin{eqnarray*} x(t=0)=0 \end{eqnarray*}$ ist und die Beschleunigung also $\begin{eqnarray*} \ddot{x}(t=0)=0 \end{eqnarray*}$ ?
Oder stimmt das nicht?

Wenn ich mir die Ausgangslage des Experiments anschaue, dann würde ich das so lesen, daß anfänglich x(0) = -5 cm und die Anfangsgeschwindigkeit = 0 sind. Damit solltest du die fehlenden Parameter bestimmen können.

21.07.2019, 15:36

SM!LE

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differentialgleichung - Physik Anwendung - Federschwinger

Zitat:

Original von klarsoweit

Nun ja, bei der Beschleunigung $\begin{eqnarray*} \ddot x \end{eqnarray*}$ ist kein Index dran. Und da frage ich, warum nimmt man die Variable x mal ohne und mal mit Index. Und was soll dann dieser Index aussagen? Ist denn im Eingangspost der komplette originale Aufgabentext?

Oh Sorry jetzt weiß ich was du meinst. Es muss natürlich auch $\begin{eqnarray*} \ddot{x}_m \end{eqnarray*}$ heißen.
Nein ich hab den Aufgabentext etwas zusammengefasst.
$\begin{eqnarray*} x_m \end{eqnarray*}$ war aber defintiv so im Text als Auslenkung für die Feder gegeben.

Zitat:

Original von klarsoweit

Wenn ich mir die Ausgangslage des Experiments anschaue, dann würde ich das so lesen, daß anfänglich x(0) = -5 cm und die Anfangsgeschwindigkeit = 0 sind. Damit solltest du die fehlenden Parameter bestimmen können.

Ah okay ich verstehe danke dir.

Ich hätte dann folgende Lösung für die DLG:

$\begin{eqnarray*} x=-5cm\cdot cos\left(\omega t\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=15,79\frac{m}{s^2} \end{eqnarray*}$

21.07.2019, 16:11

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differentialgleichung - Physik Anwendung - Federschwinger
Bei der Berechnung von Omega ist was schief gelaufen. Schon die Einheit paßt nicht. verwirrt

21.07.2019, 16:19

SM!LE

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh sorry da hab ich beim eintippen ein Fehler gemacht:

$\begin{eqnarray*} \omega=15,79~\frac{kg}{s^2} \end{eqnarray*}$

Der Zahlenwert müsste aber gestimmt haben. verwirrt

Noch eine kurze Frage zur maximalen Geschwindigkeit und der maximalen Beschleunigung.
Die Geschwindigkeit wird ja maximal wenn $\begin{eqnarray*} sin(\omega t)=1 \end{eqnarray*}$ und die Beschleunigung wird maximal wenn $\begin{eqnarray*} cos(\omega t)=1 \end{eqnarray*}$ oder?

Wenn man die Kurvenverläufe zeichnen wollte wäre die Auslenkung ja einfach nur eine ungedämpfte Cosinus-Schwingung, die Geschwindigkeit wäre eine ungedämpfte Sinus-Schwingung multipliziert mit $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ und die Beschleunigung wieder eine ungedämpfte Cosinus-Schwingung multipliziert mit $\begin{eqnarray*} \omega^2 \end{eqnarray*}$ oder?

Vielen Vielen Dank. Du hast mir wirklich sehr geholfen.

21.07.2019, 18:55

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SM!LE
Oh sorry da hab ich beim eintippen ein Fehler gemacht:

$\begin{eqnarray*} \omega=15,79~\frac{kg}{s^2} \end{eqnarray*}$

Der Zahlenwert müsste aber gestimmt haben. verwirrt

Ich weiß ja nicht, was du da rechnest. Bei mir hat das Omega die Einheit 1/s. Wie willst du sonst cos(Omega * t) rechnen?

Zitat:

Original von SM!LE
Noch eine kurze Frage zur maximalen Geschwindigkeit und der maximalen Beschleunigung.
Die Geschwindigkeit wird ja maximal wenn $\begin{eqnarray*} sin(\omega t)=1 \end{eqnarray*}$ und die Beschleunigung wird maximal wenn $\begin{eqnarray*} cos(\omega t)=1 \end{eqnarray*}$ oder?

Wenn man die Kurvenverläufe zeichnen wollte wäre die Auslenkung ja einfach nur eine ungedämpfte Cosinus-Schwingung, die Geschwindigkeit wäre eine ungedämpfte Sinus-Schwingung multipliziert mit $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ und die Beschleunigung wieder eine ungedämpfte Cosinus-Schwingung multipliziert mit $\begin{eqnarray*} \omega^2 \end{eqnarray*}$ oder?

So sieht es aus. smile

21.07.2019, 19:14

SM!LE

Auf diesen Beitrag antworten »

Heute ist echt nicht mein Tag Hammer

$\begin{eqnarray*} \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=12,56~\frac{1}{s}<br /> \end{eqnarray*}$

Ich bin in der Zeile verrutscht. Jetzt müsste es stimmen.

$\begin{eqnarray*} k=\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2\cdot m=15,79~\frac{kg}{s^2}<br /> \end{eqnarray*}$

Entschuldige bitte und danke für deine Geduld.

22.07.2019, 08:05

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SM!LE
$\begin{eqnarray*} \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=12,56~\frac{1}{s} \end{eqnarray*}$

Genauer wäre $\begin{eqnarray*} \omega = 4 \pi \frac{1}{s} \end{eqnarray*}$ , aber ok. smile

Neue Frage »

Antworten »

Differentialgleichung Federschwinger

Verwandte Themen