PL1 mit Gleichheit, warum?

21.07.2019, 18:55

Pippen

PL1 mit Gleichheit, warum?

Verständnisfrage: Ich wundere mich immer wieder, wieso man in PL1 extra eine Erweiterung für Gleichheiten braucht und das nicht schon in PL1 ausdrückbar ist. Denn was ist Gleichheit nicht anderes als ein tautologisches Bikonditional (|= A <-> B)? Damit wäre Gleichheit in AL und PL ausdrückbar, man bräuchte nicht extra ein Gleichheitszeichen bzw. könnte es einfach definieren als: (A = B) := (|= A <-> B).

Vllt. hilft auch ein klassisches Lehrbeispiel, was zeigt, wo/wie sich PL1\= und PL1= unterscheiden.

22.07.2019, 10:59

Huggy

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RE: PL1 mit Gleichheit, Warum?

Zitat:

Original von Pippen
Denn was ist Gleichheit nicht anderes als ein tautologisches Bikonditional (|= A <-> B)?

Hier stehen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ für Aussagen. Du beschäftigst dich also mit der Frage, ob man die Gleichheit von Aussagen in PL1 über das Bikonditional definieren könnte. In PL1 mit Gleichheit geht es aber nicht um die Gleichheit von Aussagen, sondern um die Gleichheit von Konstanten und von Variablen für die den Bereich der Konstanten, z. B.

Konrad Adenauer = Erster Bundeskanzler der BRD

Da stehen auf beiden Seiten des Gkeichheitszeichens keine Aussagen, sondern Konstanten. Oder etwas mehr mathematische Beispiele:

$\begin{eqnarray*} 2^2=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall x:x+x=2x \end{eqnarray*}$

Es ist nicht ersichtlich, wie man diese Form der Gleichheit in PL1 definieren könnte. Deshalb nimmt man sie als spezielles Prädikat hinzu.

22.07.2019, 12:11

zweiundvierzig

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Die Gleichheit in FO bezieht sich auf Terme und nicht auf Formeln (s. Huggy).

Im Hinblick auf Erfüllbarkeit ist es egal, ob man in FO mit oder ohne Gleichheit arbeitet.

23.07.2019, 15:02

Pippen

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RE: PL1 mit Gleichheit, warum?

Zitat:

Original von Huggy
Es ist nicht ersichtlich, wie man diese Form der Gleichheit in PL1 definieren könnte.

Was ist mit a = b gdw. a <-> b, wobei a,b Terme seien? Wenn a <-> b wahr ist, dann sind a und b nicht nur gleich, sondern sogar identisch, denn es gäbe ja dann keinen Fall, wo die Wahrheitswerte von a,b jemals auseinanderfielen und das wäre Identität. Ich weiß auch, dass zB das Externsionalitätsaxiom in ZFC Gleichheit auch einfach über das Bikonditional definiert, warum also der Aufwand in PL1?

p.s. Man könnte folgendes Problem sehen: So ist zB "Regen <-> Regenwolken" wahr, aber offenbar sind Regen und Regenwolken nicht die gleiche Sache. Da stimmt aber die Prämisse nicht. "Regen <-> Regenwolken" ist nicht so einfach wahr, sondern nur in gewissen Modellen und dort wären sie auch identisch, so zB in einem Wettermodell, welches sich nur für Niederschlag interessiert und wo Regen und Regenwolfen auf's Gleiche hinauslaufen; in einem anderen Modell, zB einem allgemeineren mit weiterem Scope, da wäre das Bikonditional schlicht falsch, weil es da mind. einen Fall gäbe, wo Regen vorliegt, aber keine Regenwolken oder umgekehrt.

24.07.2019, 09:18

Huggy

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RE: PL1 mit Gleichheit, warum?

Zitat:

Original von Pippen
Was ist mit a = b gdw. a <-> b, wobei a,b Terme seien?

Wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ nur Terme sind, aber keine Aussagen, dann ist $\begin{eqnarray*} a \leftrightarrow b \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert, denn die logische Verknüpfungen wie und, oder, ... sind nur für Aussagen definiert. Formal ist in PL1 die Zeichenkette $\begin{eqnarray*} a \leftrightarrow b \end{eqnarray*}$ gar nicht bildbar, wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ nicht Zeichenketten für Aussagen sind.

Zitat:

Ich weiß auch, dass zB das Externsionalitätsaxiom in ZFC Gleichheit auch einfach über das Bikonditional definiert, warum also der Aufwand in PL1?

Das stimmt so nicht. ZFC ist üblicherweise in PL1 mit Gleichheit formuliert. Gleichheit ist also als Prädikat schon vorhanden. Mit dem Extensionalitätsaxiom wird dann nur noch mittels des schon vorhandenen Gleichheitsprädikats definiert, wann Mengen gleich sein sollen. Beachte auch, dass dieses Axiom nicht deine Form $\begin{eqnarray*} (A=B) \leftrightarrow (A \leftrightarrow B) \end{eqnarray*}$ hat:

https://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fr..._von_ZF_und_ZFC

In einer in PL1 ohne Gleichheit formulierten Theorie lässt sich Gleichheit nur definieren, wenn es in dieser Theorie nur eine endliche Zahl von Prädikaten gibt.

Idendität

Das ist dann eine auf diese Prädikate bezogene Gleichheit. Ich zitiere:

In der Prädikatenlogik erster Stufe gibt es jedoch keine allgemeine Definition, die unabhängig von den verwendeten Prädikaten wäre.

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