Mengenausdruck vereinfachen

21.07.2019, 22:06	road	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenausdruck vereinfachen Hi Boardies, bei folgender Aufgabe stehe ich auf dem Schlauch: Ich soll diesen Mengen Ausdruck vereinfachen: (A $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ B $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ C) $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} ~\overline{~\overline{A} \cup ~\overline{B} \cup C} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ (A $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ~\overline{B} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ C) Mein Problem ist, dass es hier 3 Klammerausdrücke mit jeweils 3 Mengen sind, in meinen Unterlagen habe ich aber nur Regeln und Beispiele für weniger gefunden. Wie kann ich hier z.B. ein Distributivgesetz anwenden oder eine der de Morganschen Regel? Wo ist mein Denkfehler? danke im voraus
21.07.2019, 22:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim mittleren Vereinigungsglied bietet sich de Morgan an, danach kann man $\begin{align} A \cap \end{align}$ ausklammern: $\begin{align} \left( A \cap B \cap C \right) \cup \overline{\left( \bar{A} \cup \bar{B} \cup C \right)} \cup \left( A \cap \bar{B} \cap C \right) = \left( A \cap B \cap C \right) \cup \left( A \cap B \cap \bar{C} \right) \cup \left( A \cap \bar{B} \cap C \right) \end{align}$ $\begin{align} = A \cap \left( \left( B \cap C \right) \cup \left( B \cap \bar{C} \right) \cup \left( \bar{B} \cap C \right) \right) \end{align}$ Und innen kann man wieder $\begin{align} B \end{align}$ ausklammern: $\begin{align} \left( B \cap C \right) \cup \left( B \cap \bar{C} \right) = B \cap \left( C \cup \bar{C} \right) = B \cap \Omega = B \end{align}$ Und jetzt setze das oben ein und bring es zu Ende.
22.07.2019, 21:37	road	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber natürlich (gegendenkopfklatsch), das Ausklammern hat als "Link" in meinem Kopf gefehlt. Vielen, vielen Dank!
23.07.2019, 12:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine etwas vorzeitige Jubelfeier - hoffentlich hast du die abschließend mögliche Vereinfachung $\begin{eqnarray} B\cup (\bar{B}\cap C) = B\cup C \end{eqnarray}$ auch noch mitgenommen.

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