Konvergente Folge |
22.07.2019, 11:10 | Rosalie26 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Konvergente Folge "Sei ( ) eine Folge mit für alle . Beweisen Sie, dass ( ) genau dann gegen a konvergent ist, wenn es einen Index n0 so gibt, dass = a für alle n ist." Die Lösung lautet wie folgt: Wir nehmen zunächst an, dass ( ) gegen a konvergiert. Wir zeigen zunächst, dass a gelten muss. Angenommen, es ist a kein Element Z. Sei a´ , sodass | a´-a | = d minimal ist. NAch Annahme ist d > 0. Sei 0<e<d. Dann gibt es kein mit | a´-a | < e, die Folge kann also nicht gegen a kovergieren. Die Lösung geht dann noch etwas weiter aber ich würde es erstmal gerne bis hierher verstehen. Zunächst leuchtet mir nicht ganz ein, wie ich zum Beispiel in einer Klausur selbst darauf hätte kommen können, dass ich erst einmal zeigen muss, dass a ein Element der ganzen Zahlen ist. Wieso wird das an dieser Stelle gemacht bzw. wieso ist das wichtig zu welchen Zahlen a gehört? Ebenso verstehe ich den nächsten Schritt nicht, wieso hier irgendein a´ genommen wird um einen minimalabstand zu inszinieren. Was bringt mir das? Ebenso verstehe ich auch die Schlussfolge nicht, wieso jetzt dann die Folge nicht konvergiert. Mit welcher Begründung? Ich hoffe die Fragen sind nicht dumm, aber manchmal steht man so auf dem Schlauch und hier wird mir meistens ganz toll weitergeholfen! PS.: Gerne in einer Sprache für Dummies erklären, ich bin noch neu auf dem Gebiet der Mathematik, aber gewillt dahinter zu steigen |
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22.07.2019, 11:27 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ein Beweis für eine Aussage vorliegt, dann kann man den Beweis Schritt für Schritt nachvollziehen. Wenn jeder Schritt einleuchtet, dann ist der Beweis in Ordnung, und alles erledigt. Alternativ kann und soll man versuchen, einen besseren Beweis zu finden. Welcher Schritt ist unklar ? Der Anfang ist trivial, denn wie soll denn eine Folge ganzer Zahlen gegen 2/3 konvergieren ? Das geht doch gar nicht. Für =1/6 müssten doch alle Glieder der Folge zwischen 1/2 und 5/6 liegen, und das machen ganze Zahlen nicht. |
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22.07.2019, 11:29 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man muss das nicht so zeigen, ganz im Gegenteil halte ich diesen Schritt für ziemlich unnötig. Es führen oft viele Wege nach Rom. Warum die Lösung diesen Schritt zuerst geht, kann ich aber nicht beantworten, ohne den Rest der Lösung zu sehen. Man muss in der Mathematik selten einen bestimmten Weg einschlagen. Wenn du also nicht darauf kommst, das genau so zu zeigen, heißt das vielleicht sogar, dass du selbst einen viel besseren Weg im Kopf hast. Edit:
Wenn das ein Anfänger so schreibt, gibt's aber keine Punkte |
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22.07.2019, 17:19 | Rosalie26 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das wäre die restliche Lösung: Es folgt a Z. Dann gibt es zu e=1/2 ein n0 , sodass < e für alle ist. Da verschiedene ganze Zahlen aber mindestens den Abstand 1 voneinander haben, folgt, dass für alle n gelten muss. Jetzt nehmen wir an, dass es ein n0 gibt, dass für alle ist. Dann liegen in jeder e-Umgebung von a fast alle Folgeglieder, und es folgt, dass gegen a kovergiert. Doch auch hier kann ich nicht ganz nachvollziehen wieso für e= 1/2 gewählt wird... |
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22.07.2019, 17:33 | Rosalie26 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, dass der Grenzwer eine ganze Zahl sein muss, wenn sich auch alle Folgeglieder in den ganzen Zahlen befinden leuchtet mir ein. Da habe ich in der Angabe nicht genau genug gelesen. Aber dieser Schritt wird mir noch immer nicht ganz klar. Wieso bestimme ich einen Abstand l a´- al =d so, dass er minimal ist und wieso kann ich aus l an-a l <x e folgern, dass die Folge nicht kovergiert? Woher weiß ich, dass es kein n gibt, dass dies erfüllt? |
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22.07.2019, 18:15 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Fragen sind sehr unklar. Kann es sein, dass du den Begriff Konvergenz nicht verstanden hast ? Eine Folge konvergiert genau dann gegen , wenn für ein alle mit beliebig nahe an liegen. Ganze Zahlen liegen genau dann beliebig nahe an einer ganzen Zahl , wenn sie gleich sind. Das "beliebig nahe" spricht man meistens mit an, bei ganzen Zahlen genügt , und die Kiste ist fertig. |
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23.07.2019, 14:17 | Rosalie26 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wäre es denn mit e=1 auch in Ordnung? Könnte ich das so dann genauso beweisen? Mir ist eben immer etwas unklar, welches e man wählt und wieso... |
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23.07.2019, 18:14 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist "knapp daneben", denn die Folge konvergiert nicht. Zwar liegen alle Folgenglieder ab nicht weiter als von entfernt, aber ist offensichtlich nicht Grenzwert. Eine Folge konvergiert gegen den Grenzwert , wenn für alle ein existiert, so dass für alle gilt . Es kommt nicht darauf an, ein bestimmtes zu wählen, weil die Konvergenzbedingung für alle gelten muss. Bei Beweisen wählt man gelegentlich ein bestimmtes , wenn es der Beweisführung nützt oder schön aussieht. Beweisen lernt man, indem man Beweise führt. Dabei lernt man auch, was nützlich ist und was richtig ist und was elegant ist und was ein schöner Beweis ist. |
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