Strecke im Quadrat

22.07.2019, 12:31

Dopap

Strecke im Quadrat

eine simple Zeichnung des geometrischen Problems wäre nice to have.

Mit Worten, aber möglichst redundanzfrei und eindeutig, etwa so:

Bei einem Einheitsquadrat ist eine Seite Durchmesser eines Kreises. Wie lang ist die Strecke, die Quadrat und eine Kreistangente gemeinsam haben, wenn diese genau einen Eckpunkt enthält?

Was wäre der einfachste geometrische Einstieg?

22.07.2019, 12:59

willyengland

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Meinst du so?

22.07.2019, 13:24

HAL 9000

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Eine möglichst einfache Begründung: Sei $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ der Tangentenpunkt, dann sind aufgrund der Gegebenheiten die beiden Drachenvierecke $\begin{eqnarray*} EDFT \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} BAET \end{eqnarray*}$ ähnlich, es gilt mithin

$\begin{eqnarray*} |FT| = |ED|\cdot \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{a}{4} \end{eqnarray*}$

Zusammen mit $\begin{eqnarray*} |TB| = |AB| = a \end{eqnarray*}$ wird daraus $\begin{eqnarray*} |FB| = |FT|+|TB|=\frac{5}{4}a \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Ist damit übrigens eine nette Variante, das klassische 3-4-5-Pythagorasdreieck zu konstruieren (hier BFC).

22.07.2019, 13:55

riwe

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RE: Strecke im Quadrat

Zitat:

Original von Dopap

Bei einem Einheitsquadrat ist eine Seite Durchmesser eines Kreises. Wie lang ist die Strecke, die Quadrat und eine Kreistangente gemeinsam haben, wenn diese genau einen Eckpunkt enthält?

Was wäre der einfachste geometrische Einstieg?

tobe dich mit dem Pythagoras aus Augenzwinkern

22.07.2019, 16:58

HAL 9000

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Ja stimmt, konzentriert man sich gleich auf Dreieck $\begin{eqnarray*} BFC \end{eqnarray*}$ , so bekommt man sofort Bestimmungsgleichung $\begin{eqnarray*} h^2=a^2+(a-(h-a))^2 \end{eqnarray*}$ mit schnell folgender Lösung $\begin{eqnarray*} h=\frac{5}{4}a \end{eqnarray*}$ . Ist womöglich noch einen Tick schneller als meine Überlegung oben. Aber auch dieser Zugang verwendet die Tangentenabschnittsgleichheit $\begin{eqnarray*} |DF|=|FT| \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

22.07.2019, 17:57

Dopap

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@willyengland: ja genau so ist das "gemeint" , oder ist meine Beschreibung etwa nicht eindeutig? Schöne Skizze nur ist die Lösung zu analytisch.

@HAL: feine geometrische Lösung, auf ähnliche Drachen muss man erst mal kommen!

@Riwe: ich dachte mir schon, dass dich das mal wieder zum posten reizen könnte Wink

Summa summarum bin ich dann auch von paarweisen gleichen Tangentenabschnitten $\begin{eqnarray*} |BT|=1 \, \text{und}\, |DF|=|FT| \end{eqnarray*}$ ausgegangen.

22.07.2019, 18:15

riwe

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ja ich hatte es auch mit den Drachen, dazu animieren mich gerade mein Enkel und meine liebe Frau, die sowieso Augenzwinkern

(s + x)² = (s - x)²+ s² mit der Quadratseite s

22.07.2019, 19:52

PhyMaLehrer

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Nanu, dazu habe ich doch gerade gestern erst ein Video gesehen... smile

23.07.2019, 08:50

willyengland

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Zitat:

Original von Dopap
@willyengland: ja genau so ist das "gemeint" , oder ist meine Beschreibung etwa nicht eindeutig?

Also für mich war sie nicht eindeutig.

Zitat:

Wie lang ist die Strecke, die Quadrat und eine Kreistangente gemeinsam haben, wenn diese genau einen Eckpunkt enthält?

Für mich enthält jede Strecke eines Quadrats zwei Eckpunkte.
Dass die Strecke innerhalb des Quadrats liegen kann, war für mich nicht klar.
Zur Eindeutigkeit müsste man hinzufügen, dass die Strecke innerhalb der quadratischen Fläche liegt.

Versuch:
Wie lang ist der Teil der Kreistangente, die genau durch einen Eckpunkt geht und innerhalb der quadratischen Fläche liegt?

23.07.2019, 10:56

Dopap

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Zitat:

Wie lang ist die Strecke, die Quadrat und eine Kreistangente gemeinsam haben, wenn diese genau einen Eckpunkt enthält?

Für mich enthält jede Strecke eines Quadrats zwei Eckpunkte.
Dass die Strecke innerhalb des Quadrats liegen kann, war für mich nicht klar.
Zur Eindeutigkeit müsste man hinzufügen, dass die Strecke innerhalb der quadratischen Fläche liegt.

da schränkst du die Schnittmenge von Tangente und Quadrat von vorneherein ein.

Wenn das Quadrat nur der Rand wäre, dann gäbe es nur 2 Schnitte mit Länge > 0 und zwar mit Länge 1 die jeweils genau 2 Eckpunkte enthalten.

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