Beweis Chapman-Kolmogorov-Ungleichung

Neue Frage »

Korbinian432 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Chapman-Kolmogorov-Ungleichung
Hallo,
es geht mir um den Beweis der Chapman-Kolmogorov-Ungleichung im Kontext mit Markov Ketten, also die Aussage:
mit Zustandsraum
Beim Beweis verwendet man die totale Wkt:


Dabei wird ja folgendes verwendet:
Dabei muss
In meinem Fall wäre Aber die Vereinigung muss doch nicht den ganzen Raum ergeben oder? verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, du musst dort schon die Indizes angleichen: Mal und dann wieder in dieser ein- und derselben Formel zu schreiben ist natürlich Unsinn.

D.h., tatsächlich verwendest du für . Und natürlich ist , solange du auch wirklich über alle nur denkbaren vereinigst, die die Zufallsgröße annehmen kann. Angesichts deines Zustandsraums wäre das , ja.

Zitat:
Original von Korbinian432
Beim Beweis verwendet man die totale Wkt:

Hier hast du dich rechts auch verschrieben, es muss lauten.
 
 
Korbinian432 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine schnelle Antwort. Ja du hast Recht. Da habe ich mich mehrmals verschrieben.
wegen der Vereinigung alle Werte im Zustandsraum an, aber warum werden dann alle sozusagen durch X "gebraucht". Kann es nicht sein, dass ein unter diesem z.b alle Zustände abdeckt theoretisch?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

für ein konkretes ist auch nur ein Wert aus . Wie soll dieser eine Wert alle Zustände abdecken? Macht keinen Sinn. unglücklich
Korbinian432 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vertehe also noch nicht, wie im Kontext mit Markovketten die Ereignisse aus dem Wahrscheinlichkeitsraum aussehen. Wenn wir das Beispiel betrachten:
Zwei Spieler spielen gegeneinander. Spieler 1 startet mit n Euro, Spieler 2 mit N−n Euro. Bei jedem Spiel gewinntS pieler 1 mit Wahrscheinlichkeit p einen Euro, mit Wahrscheinlichkeiq = 1−p verliert er einen Euro. Das Spiel endet, wenn einer der beiden pleite ist.
Was würde dann z.b genau beschreibe und was wäre dann das zugehörige Ereignis? Verstehst du mein Problem?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch zunächst mal DEINE Sache, wie du festlegst, was inhaltlich bedeuten soll!!! Bei deinem Spiel wäre etwa denkbar die Festlegung

... Vermögen von Spieler 1 nach Spielrunde

Gestartet wird mit , stochastisch beschrieben Einpunktverteilung , und Ende ist bei (Spieler 1 pleite) oder (Spieler 2 pleite). Die Ü-Matrix ist hier eine einfache Bandmatrix, da im Fall nur die Einträge sowie von Null verschieden sind.
Korbinian432 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Was wäre dann in diesem Fall das zugehörige Ereignis, z.b für die Menge ? Einfach ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Korbinian432
Vermögen von i Euro nach m Spielrunden

... für Spieler 1, ja.

Ergänzend würde man für die Ü-Matrix sowie auch definieren, um die erreichten Zustände bei Spielende zu zementieren (einmal erreicht kommt die Kette aus diesen absorbierenden Zuständen nicht mehr heraus).
Korbinian432 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Chapman-Kolmogorov-Ungleichung
Vielen Dank. Dann ist das endlich klar geworden in diesem Kontext. Zurück zum Beweis:

Zitat:
Original von Korbinian432
Hallo,
es geht mir um den Beweis der Chapman-Kolmogorov-Ungleichung im Kontext mit Markov Ketten, also die Aussage:
mit Zustandsraum
Beim Beweis verwendet man die totale Wkt:



Ich verwende dann im folgenden die Eigenschaft der Zeithomogenität, also
Gehört das überhaupt zu den definierenden Eigenschaften einer Markov-Kette?
In vielen Quellen war das nicht der Fall?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Schritt nach dem anderen. Zunächst verwendest du für

,

da steckt die eigentliche Markov-Eigenschaft dahinter: Betrachtet man den Zustand zum Zeitpunkt in Abhängkeit von gegebenen Zuständen an mehreren Zeitpunkten der Vergangenheit, so ist nur der zeitlich jüngste davon relevant, das ist im vorliegenden Fall Zeitpunkt . Wie der Zustand im weiter zurück liegenden Zeitpunkt 0 war, ist in dem Zusammenhang irrelevant für diese bedingte Verteilung - DAS ist der Kern der Markov-Eigenschaft!

Dein anschließendes gilt lediglich für homogene Ketten, d.h. eine wie hier vorgenommene zeitliche Verschiebung um ändert dort nichts an den bedingten Wahrscheinlichkeiten. Die in deinem Münzbeispiel vorliegende Kette ist natürlich homogen: Die Ü-Wahrscheinlichkeiten werden nur von und dem noch verfügbaren Geld bestimmt, nicht vom Zeitpunkt.
Korbinian432 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000


Dein anschließendes gilt lediglich für homogene Ketten, d.h. eine wie hier vorgenommene zeitliche Verschiebung um ändert dort nichts an den bedingten Wahrscheinlichkeiten. Die in deinem Münzbeispiel vorliegende Kette ist natürlich homogen: Die Ü-Wahrscheinlichkeiten werden nur von und dem noch verfügbaren Geld bestimmt, nicht vom Zeitpunkt.

Wenn ich das verwende gilt der Satz nur für homogene Ketten oder? Das stand egtl nicht in den Voraussetzungen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist aber so. Bei inhomogenen Ketten hat man für jeden Übergang eine eigene Ü-Matrix, und es gelten dann abweichend die Chapman-Kolmogorov-Gleichungen nur noch in der zeitlich inhomogenen Form

.

Dabei bedeutet .
Korbinian432 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Ich muss mich herzlich bei dir bedanken für deine Hilfe HAL9000 smile smile
Ich wünsche dir einen schönen Abend Wink
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »