2x2 Orthogonale Matrizen A,B mit Determinante -1 => A und B sind ähnlich

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lilly99 Auf diesen Beitrag antworten »
2x2 Orthogonale Matrizen A,B mit Determinante -1 => A und B sind ähnlich
Meine Frage:
Hi,

ich reche gerade ein par Aufgaben zur Übung durch und bin dabei auf diese Aufgabe gestoßen:

A,B seien orthogonale 2x2 Matrizen, es gilt:

|A|=|B|=-1 => A und B sind ähnlich

Die Aussage soll belegt oder widerlegt werden. Ich habe bisher einfach nur versucht ein Gegenbeispiel zu finden. Entweder stelle ich mich dabei nur etwas doof an oder die Aussage stimmt, jedoch komme ich nicht darauf wie man das einsieht. Hat jemand hier vielleicht eine Idee?

Meine Ideen:
Grüße,

lilly99
Kombinatorik Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
eine Möglichkeit hier anzufangen wäre die folgende Überlegung:
Zwei Matrizen sind ähnlich (naja zumindest über den komplexen Zahlen, aber das ist hier nicht wichtig) wenn sie, bis auf Vertauschung der Jordankästchen die gleiche Jordannormalform haben. Hier sind die Matrizen sogar orthogonal, also lassen sie sich sicher diagonalisieren. Damit sind sie ähnlich, wenn sie die gleichen Eigenwerte haben. Also bietet es sich an die Eigenwerte der Matrizen zu bestimmen.
Ich hoffe das hilft schon mal als Ansatz.

Viele Grüße
 
 
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