Ehrenfest-Modell

22.07.2019, 22:45

Korbinian432

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Ehrenfest-Modell

Hallo,
ich beschäftige mich mit den Ehrenfestmodell- Mant hat 2 Urnen. In der ersten sind i Kugeln, in der zweiten M-i Kugeln. Die Übergangswkt ergeben sich dann wie folgt: $\begin{eqnarray*} p_{i,i+1}= \frac{M-i}{M}, 0 \leq i \leq M-1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} p_{i,i-1}= \frac{i}{M}, 1 \leq i \leq M \end{eqnarray*}$

Sei irgendeine Verteilung $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ vorgegeben. Ich will zeigen, dass diese stationär ist, also: $\begin{eqnarray*} \pi=\pi P \end{eqnarray*}$ mit der Übergangsmatrix P. Dabei soll $\begin{eqnarray*} \pi_j = 2^-{M} \begin{pmatrix} M \\ j \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wie kommt man auf das?

23.07.2019, 08:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Korbinian432
Sei irgendeine Verteilung $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ vorgegeben. Ich will zeigen, dass diese stationär ist

Diese Formulierung ist Unsinn: Die Verteilung $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist eben nicht "irgendeine", sondern ja sehr konkret durch dieses $\begin{eqnarray*} \pi_j = 2^{-M} \binom{M}{j} \end{eqnarray*}$ vorgegeben.

Zum Nachweis rechne mit diesem konkreten $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ doch einfach das Vektor-Matrix-Produkt $\begin{eqnarray*} \pi P \end{eqnarray*}$ aus und überprüfe, ob dann tatsächlich dieses $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ auch als Ergebnis herauskommt.

P.S.: Die Frage "Wie kommt man auf das?" gewöhn dir mal ab, die hat noch nie was sinnvolles gebracht. Ersetze sie durch "Wieso gilt..." oder "Wie beweist man...", das bringt dich eher voran.

23.07.2019, 09:51

Korbinian432

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Korbinian432
Sei irgendeine Verteilung $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ vorgegeben. Ich will zeigen, dass diese stationär ist

Diese Formulierung ist Unsinn: Die Verteilung $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist eben nicht "irgendeine", sondern ja sehr konkret durch dieses $\begin{eqnarray*} \pi_j = 2^{-M} \binom{M}{j} \end{eqnarray*}$ vorgegeben.

Ich hätte eher fragen sollen, warum diese Verteilung plausibel ist ?
In meiner Vorlesung habe ich gefunden, dass anscheinend folgendes zu zeigen ist: $\begin{eqnarray*} \pi_j=\pi_{j-1} \frac{M_j+1}{M} + \pi_{j+1} \frac{j+1}{M} \end{eqnarray*}$
Das ist doch niicht meine gesuchte Eigenschaft?

23.07.2019, 10:12

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist in der nachzuprüfenden Gleichung $\begin{eqnarray*} \pi P = \pi \end{eqnarray*}$ als Zeilenvektor zu verstehen. Der Eintrag $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ (im Bereich $\begin{eqnarray*} 0\leq j\leq M \end{eqnarray*}$ ) des Ergebnisses ist nun

$\begin{eqnarray*} (\pi P)_j = \sum_{i=0}^M \pi_i p_{i,j} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} 1\leq j\leq M-1 \end{eqnarray*}$ ergibt dies gemäß deiner obigen Übergangswahrscheinlichkeiten

$\begin{eqnarray*} (\pi P)_j = \pi_{j-1} p_{j-1,j} + \pi_{j+1} p_{j+1,j} = \pi_{j-1} \frac{M-(j-1)}{M} + \pi_{j+1} \frac{j+1}{M}\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} j=0 \end{eqnarray*}$ fällt der erste Summand weg, für $\begin{eqnarray*} j=M \end{eqnarray*}$ der letzte - ansonsten sind auch für diese beiden Randwerte Formel (*) zu nehmen.

Nun setzt du in (*) $\begin{eqnarray*} \pi_{j-1} = 2^{-M}\binom{M}{j-1} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \pi_{j+1} = 2^{-M}\binom{M}{j+1} \end{eqnarray*}$ ein und vereinfachst - am Ende soll dann natürlich

$\begin{eqnarray*} (\pi P)_j = 2^{-M}\binom{M}{j} \end{eqnarray*}$ herauskommen, was Eintrag $\begin{eqnarray*} (\pi P)_j = \pi_j \end{eqnarray*}$ beweist und damit am Ende über alle $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ gesehen auch $\begin{eqnarray*} \pi P = \pi \end{eqnarray*}$ .

Auf diese Verfahrensweise sollte man doch auch ohne große Geistesblitze kommen, oder?

23.07.2019, 11:59

Korbinian432

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Zitat:

Original von HAL 9000

Für $\begin{eqnarray*} 1\leq j\leq M-1 \end{eqnarray*}$ ergibt dies gemäß deiner obigen Übergangswahrscheinlichkeiten

$\begin{eqnarray*} (\pi P)_j = \pi_{j-1} p_{j-1,j} + \pi_{j+1} p_{j+1,j} = \pi_{j-1} \frac{M-(j-1)}{M} + \pi_{j+1} \frac{j+1}{M}\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} j=0 \end{eqnarray*}$ fällt der erste Summand weg, für $\begin{eqnarray*} j=M \end{eqnarray*}$ der letzte - ansonsten sind auch für diese beiden Randwerte Formel (*) zu nehmen.

Wie kommt diese Gleichung zustande. Ich sehe das gerade leider nicht. Tut mir leid. verwirrt

verwirrt

23.07.2019, 12:03

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} (\pi P)_j = \sum_{i=0}^M \pi_i p_{i,j} \end{eqnarray*}$ ist doch noch klar, oder? Einfach die Umsetzung der Vektor-Matrix-Multiplikation für den Eintrag Spalte $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ . Dann setze hier

Zitat:

Original von Korbinian432
Die Übergangswkt ergeben sich dann wie folgt: $\begin{eqnarray*} p_{i,i+1}= \frac{M-i}{M}, 0 \leq i \leq M-1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} p_{i,i-1}= \frac{i}{M}, 1 \leq i \leq M \end{eqnarray*}$

ein!!!

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23.07.2019, 12:15

Korbinian432

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Dann gibt es also in der Summe nur 2 Möglichkeiten. Man hat bei diesem Modell nur bei nebeneiander liegenden Indizes eine positive Wkt. Ist das so zu vertehen?

23.07.2019, 12:22

HAL 9000

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Naja, nicht direkt nebeneinander: Dazwischen liegt noch $\begin{eqnarray*} p_{i,i} \end{eqnarray*}$ , und das ist gleich Null.

Man hat eine Ü-Matrix $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ , wo die beiden direkt der Hauptdiagonale benachbarten Diagonalen mit positiven Werten belegt sind, während der Rest der Matrix (inklusive Hauptdiagonale selbst) mit Nullen belegt ist. Vielleicht schreibst du dir ja mal die ganze Ü-Matrix $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ für ein konkretes kleines $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ auf (z.B. $\begin{eqnarray*} M=5 \end{eqnarray*}$ ).

23.07.2019, 12:35

Korbinian432

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ja stimmt. So ergibt das einen Sinn. Die ersten beiden Einträge in der 1. Zeile sind dann 0 1 und der Rest 0. In der letzten Zeile hat man dann nur 0 und am Ende 1 0.
Dann schreibst du z.b für $\begin{eqnarray*} j=0 \end{eqnarray*}$ fällt der erste Summand weg. Liegt das einfach daran das der Zustand $\begin{eqnarray*} \pi_{-1} \end{eqnarray*}$ einfach rein logisch nicht existiert. Auch rein schon wegen der gegebenen Verteilung kann das nicht sein.

23.07.2019, 13:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Korbinian432
Die ersten beiden Einträge in der 1. Zeile sind dann 0 1 und der Rest 0. In der letzten Zeile hat man dann nur 0 und am Ende 1 0.

Damit ist ja alles zu den Zeilen $\begin{eqnarray*} j=0 \end{eqnarray*}$ (nur ein von Null verschiedener Eintrag, nämlich $\begin{eqnarray*} p_{0,1}=1 \end{eqnarray*}$ ) sowie $\begin{eqnarray*} j=M \end{eqnarray*}$ (auch nur ein von Null verschiedener Eintrag, diesmal $\begin{eqnarray*} p_{M,M-1}=1 \end{eqnarray*}$ ) gesagt. Wenn man einfach zusätzlich per Definition $\begin{eqnarray*} \pi_{-1}=\pi_{M+1}=0 \end{eqnarray*}$ festlegt, dann kann man (*) natürlich für alle $\begin{eqnarray*} j=0,1,\ldots,M \end{eqnarray*}$ als gültig erachten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.07.2019, 15:11

Korbinian432

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Danke

smile

Habe es rausgemacht. Man braucht folgendes:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} M \\j \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} M-1 \\j-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} M-1 \\j \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

23.07.2019, 15:13

Korbinian432

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Tut mir leid. Ich meine rausgefunden. Wenn man diese Beziehung hat, hat man die Aussage ja schon. Hättest du das auch so gemacht. verwirrt

verwirrt

23.07.2019, 15:46

HAL 9000

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Mehr oder weniger ja - ich hatte die Binomialkoeffizienten in Fakultätsschreibweise eingesetzt, da kommt man auch hin.

23.07.2019, 17:36

Korbinian432

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Vielen Dank smile

smile

Kannst du mir sagen, inwiefern die Verteilung in dem Beispiel plausibel ist?

23.07.2019, 18:09

HAL 9000

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Kann ich nicht sagen - es ist nur aufgrund der Ü-Wkten klar, dass die Verteilung symmetrisch ist und zur Mitte hin "dichter". Dass das nun gerade zur Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} B\left(M,\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ führt, ist mir zumindest nicht unmittelbar klar bei bloßer Ansicht der Ü-Wkten.

23.07.2019, 19:42

Korbinian432

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Alles klar. Danke sehr. Du hast mir wirklich sehr gut geholfen. Ich bin echt dankbar smile

smile

25.07.2019, 12:15

Simon321

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Zitat:

Original von Korbinian432
Hallo,
ich beschäftige mich mit den Ehrenfestmodell- Mant hat 2 Urnen. In der ersten sind i Kugeln, in der zweiten M-i Kugeln. Die Übergangswkt ergeben sich dann wie folgt: $\begin{eqnarray*} p_{i,i+1}= \frac{M-i}{M}, 0 \leq i \leq M-1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} p_{i,i-1}= \frac{i}{M}, 1 \leq i \leq M \end{eqnarray*}$

Sei irgendeine Verteilung $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ vorgegeben. Ich will zeigen, dass diese stationär ist, also: $\begin{eqnarray*} \pi=\pi P \end{eqnarray*}$ mit der Übergangsmatrix P. Dabei soll $\begin{eqnarray*} \pi_j = 2^-{M} \begin{pmatrix} M \\ j \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wie kommt man auf das?

Bezugnehmend auf diese Übergangswahrscheinlichkeiten kann man dann diese auch wie folgt verstehen:
Sei $\begin{eqnarray*} X_t \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Kugeln nach t Ziehungen in der ersten Urne. Dann wäre doch:
$\begin{eqnarray*} p_{i,i+1} = P(X_n =i+1, X_{n-1}=i ) \end{eqnarray*}$ für jede mögliche Kombination aus $\begin{eqnarray*} X_j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_{j-1} \end{eqnarray*}$

25.07.2019, 12:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Simon321
$\begin{eqnarray*} p_{i,i+1} = P(X_n =i+1, X_{n-1}=i ) \end{eqnarray*}$

Womöglich meinst du $\begin{eqnarray*} p_{i,i+1} = P\left(X_n =i+1 \mid X_{n-1}=i\right) \end{eqnarray*}$ , also eine bedingte Wahrscheinlichkeit.

Denn $\begin{eqnarray*} P(X_n =i+1, X_{n-1}=i ) \end{eqnarray*}$ ist die Wahrscheinlichkeit eines Durchschnittes, d.h., dass $\begin{eqnarray*} X_{n-1}=i \end{eqnarray*}$ UND $\begin{eqnarray*} X_n=i+1 \end{eqnarray*}$ gilt. Das hat nichts mit $\begin{eqnarray*} p_{i,i+1} \end{eqnarray*}$ zu tun.

Zitat:

Original von Simon321
für jede mögliche Kombination aus $\begin{eqnarray*} X_j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_{j-1} \end{eqnarray*}$

Dies als Weiterführung des obigen Satzes macht für mich nicht den geringsten Sinn: Da wurde gerade eben von den Zeitpunkten $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , sowie den Werten dort gesprochen, und du kommst plötzlich mit $\begin{eqnarray*} X_j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_{j-1} \end{eqnarray*}$ um die Ecke. Alles reichlich zusammenhanglos. unglücklich

unglücklich

25.07.2019, 12:41

Simon321

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Ja das meine ich. Da habe ich mich verschrieben.
Ich meine, dass zu irgendwelchen Zeitpunkten die Übergangswkt gleich ist, also eben auch zum Zeitpunkt j. Ich kann also schreiben: $\begin{eqnarray*} P(X_j=i+1 | X_{j-1}=i) =p_{i,i+1} \end{eqnarray*}$
Wäre das nicht richtig?

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