Integral von ln

23.07.2019, 20:13

Schulabfrager11

Integral von ln

Meine Frage:
Hallo zusammen,

Das Integral von 1/(x-1) = ln(x-1)

Wieso ist das Integral von 1/(x^2+2) = ln(x^2 +2) falsch?

Kann mir jemand erklären wie man da das unbestimmte Integral bildet? Ich weiß dass da was mit dem arctan raus kommt.

Meine Ideen:
siehe oben

23.07.2019, 20:56

Mulder

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RE: Integral von ln
Kettenregel!

Im speziellen die innere Ableitung. Bei sowas wie $\begin{eqnarray*} f(x)=\ln(x-1) \end{eqnarray*}$ bekommst du, wenn du die Ableitung bildest, das hier:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{x-1} \color{red}\cdot 1 \end{eqnarray*}$

Das von mir rot markierte ist die innere Ableitung. In diesem Fall der Faktor 1. Der Faktor 1 verändert aber nichts. Ganz anders sieht es aber in solch einem Fall aus:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln(x^2+2) \end{eqnarray*}$

Wie sieht nun die Ableitung aus?

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{x^2+2} \color{red} \cdot 2x \end{eqnarray*}$

Es kommt hier also bedingt durch die innere Ableitung ein nicht konstanter Faktor hinzu. Erfahrungsgemäß ein beliebter Fehler, dass dies vernachlässigt wird. Denn das wirkt sich im Umkehrschluss natürlich auch auf die Integration aus, die dann eben nicht mehr so banal ist.

Langer Rede kurzer Sinn: Leite doch mal $\begin{eqnarray*} \ln(x^2+2) \end{eqnarray*}$ ab und du erkennst schnell den Unterschied bzw. das Problem.

Ein Integral der Form $\begin{eqnarray*} \ln(x-1) \end{eqnarray*}$ lässt sich auch mittels Substitution $\begin{eqnarray*} x-1=t \end{eqnarray*}$ auf ein Grundintegral zurückführen, wenn man denn schon sowas wie $\begin{eqnarray*} \ln(x-1) \end{eqnarray*}$ eben nicht als Grundintegral ansehen möchte. Bei sowas wie $\begin{eqnarray*} f(x)=\ln(x^2+2) \end{eqnarray*}$ fällt man damit aber auf die Schnauze.

23.07.2019, 22:11

Schulabfrager11

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RE: Integral von ln
Vielen dank, dass habe ich gar nicht bedacht.

Ich denke es ist ein beliebter Fehler, weile es auch so verführerisch leicht wäre dann das Integral zu bilden und man es sich so sehr wünscht, dass es auch so funktioniert.

Lg

24.07.2019, 08:22

klarsoweit

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RE: Integral von ln
Was nun die Integration von ln(x²+2) angeht, kannst du es mit partieller Integration von 1 * ln(x²+2) versuchen.

24.07.2019, 18:00

Schulabfrager11

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RE: Integral von ln
Ich habs mit Substitution gemacht.
Bei partieller Integration fehlt mir zu sehr die Übung, ich würde das jetzt nicht schaffen

[attach]49519[/attach]

24.07.2019, 19:15

klarsoweit

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RE: Integral von ln
Ich kann leider den Dateianhang nicht öffnen. Keine Ahnung, warum.
Kannst du irgendwie anders deine Rechnung posten?

24.07.2019, 20:32

Schulabfrager11

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RE: Integral von ln
Ich kann das ja tippen, ich lass aber dann die Nebenrechnungen weg, wenn was unklar ist, kann jeder gerne nachfragen.

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{1}{x^2+2} \, dx = \frac{1}{2} *\int_{}^{} \! \frac{1}{(0,5*x^2+1)} \, dx <br /> \end{eqnarray*}$

Ich habe Substitution für u = $\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ gemacht

Das ist gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * \int_{}^{} \! 1/(u^2+1) \, du*\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1/(u^2+1) \end{eqnarray*}$ wird zu arctan also erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * arctan(u)* \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Dann kommt die Rücksub. und meine Lösung ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2} }{2}*arctan(\frac{x}{\sqrt{2} } ) \end{eqnarray*}$

25.07.2019, 09:14

klarsoweit

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RE: Integral von ln
So weit, so gut. Aber ich dachte, du wolltest ln(x²+2) integrieren. verwirrt

25.07.2019, 10:17

Schulabfrager11

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RE: Integral von ln
Ich habe mich eigentlich gefragt warum 1/(x^2 +2) integriert nicht ln(x^2 +2) wäre.

Also da z.B. 1/x+2 integriert ja ln(x+2) wäre.

Nun ergibt das mit Partieller Integration mehr Sinn smile

Ich will das nicht ausrechnen aber als ansatz würde ich für die PI:

f`= x^2, f =x
g = ln(x^2 +2) und g`= 2x/(x^2 +2)

Also:

$\begin{eqnarray*} x*ln(x^2+2)-\int_{}^{} \! \frac{2x^2}{x^2 +2} \, dx \end{eqnarray*}$

25.07.2019, 13:17

klarsoweit

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RE: Integral von ln

Zitat:

Original von Schulabfrager11
Ich habe mich eigentlich gefragt warum 1/(x^2 +2) integriert nicht ln(x^2 +2) wäre.

Also da z.B. 1/x+2 integriert ja ln(x+2) wäre.

Dazu hatte Mulder ja schon was gesagt.

Zitat:

Original von Schulabfrager11
Ich will das nicht ausrechnen aber als ansatz würde ich für die PI:

f`= x^2, f =x
g = ln(x^2 +2) und g`= 2x/(x^2 +2)

Korrekt ist: f' = 1, f = x smile

25.07.2019, 13:55

Schulabfrager11

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RE: Integral von ln
Sehr gut, dann bedanke ich mich nochmal bei euch für eure großzügige Hilfe smile

Genießt das Wetter

LG

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