Unendlich viele Möbiustransformationen

23.07.2019, 20:14

Spitzname123456789

Unendlich viele Möbiustransformationen

Meine Frage:
Die Möbiustransformation f: H->H die durch f(z)=1/(2+z(konjugiert)) gegeben ist, bildet die hyperbolische Gerade h:={z Element H: z+z(konjugiert)=0} auf die Verbindungsgerade g der Punkte 2/5+i/5 und 1/4+i/4 ab. Geben Sie unendlich viele (paar. verschiedene) Beispiele von Möbiustransformationen, die h auf g abbilden. Begründen Sie, dass ihre Bsp. die geforderten Eigenschaften haben.

Meine Ideen:
Leider weiß ich nicht, wie ich diese Aufgabe angehen soll.

23.07.2019, 21:03

Leopold

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Wie habt ihr eine Möbiustransformation definiert? Mich stört bei der Definition von f die Konjugation im Nenner. verwirrt

24.07.2019, 09:07

HAL 9000

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Ich weiß jetzt nicht, was mit $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ gemeint ist, ich nehme daher mal $\begin{eqnarray*} H=\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ an, dann ist $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ gemäß obiger Definition einfach die Imaginärachse. Unter Abbildung $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{2+\bar{z}} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(h) \end{eqnarray*}$ doch aber keine Gerade, sondern der Kreis mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} z_0=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ und Radius $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ . Deswegen kann ich insbesondere deinen ersten Satz oben nicht nachvollziehen. verwirrt

24.07.2019, 10:31

Huggy

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich weiß jetzt nicht, was mit $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ gemeint ist

Vermutung: $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ist die hyberbolische Ebene in komplexer Darstellung in einem der Poincaréschen Modelle, wie das Halbebenenmodell oder das Kreisscheibenmodell. Da können auch Kreise "Geraden" sein.

24.07.2019, 12:21

HAL 9000

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Na in dem Fall muss ich mit meiner Inkompetenz klein beigeben, hab nur in der schnöden komplexen Ebene gedacht. Augenzwinkern

24.07.2019, 12:42

Huggy

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Wie so oft halten Fragesteller den Rest der Welt für Hellseher. Vielleicht ist der Fragesteller so gnädig, etwas zu meiner Vermutung zu sagen.

24.07.2019, 14:03

Elvis

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Es geht mir genau wie Leopold, ich verstehe nicht, wie man aus einer Funktion $\begin{eqnarray*} \frac 1 {2+\overline z} \end{eqnarray*}$ eine Möbiustransformation $\begin{eqnarray*} \frac {az+b}{cz+d} \end{eqnarray*}$ machen soll. Es geht mir auch wie HAL 9000, ich verstehe nicht, wieso der Definitions- und Wertebereich einer Möbiustransformation nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb C\cup\{\infty\} \end{eqnarray*}$ sein soll. Die Vermutungen von Huggy sind naheliegend, denn die Diktion von Spitzname123456789 legen diese nahe. Ich würde so gerne mitspielen, weil die Aufgabe vielleicht interessant wird, aber angesichts des absoluten Chaos (und Temperaturen über 35°C) versagt die Geisteskraft.

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