Injektivität, Surjektiv Beweis
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25.07.2019, 15:22 aralmittel Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität, Surjektiv Beweis
Meine Frage:
Ich soll auf Injektiv, Surjektiv prüfen/ beweisen.
Finde keinen Ansatz

f1: Z -> Z, z-> 3z-1

Meine Ideen:
Danke
25.07.2019, 15:42 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität, Surjektiv Beweis
Nun ja, was bedeutet denn laut Definition injektiv? Genau das mußt du dann zeigen.
25.07.2019, 15:45 aralmittel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität, Surjektiv Beweis
f(x1) = f(x2) => x1 = x2.
wie übertrag ich das nun auf meine geg. Funktion?
25.07.2019, 15:49 aralmittel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität, Surjektiv Beweis
Habe das hier gemacht:

sei a, b Element Z.

f(a) = 3a-1
f(b) = 3b-1

3a-1 = 3b-1 <=> a = b

Aber das ist doch nicht der Beweis oder?
25.07.2019, 16:04 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität, Surjektiv Beweis
Exakt das ist er. Manchmal ist ein Beweis nur ein Einzeiler. smile
25.07.2019, 16:16 aralmittel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität, Surjektiv Beweis
Alles klar, danke!
Habe jz mit der Surjektivität weiter gemacht.

f(x) = y
y Element Z beliebig
x Element Z

3x-1 = y
x = (y+1) / 3

x eingesetzt:

3 * ((y+1)/3) -1 = y
y = y

Damit surjektiv?

Also Bijektiv
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25.07.2019, 16:22 aralmittel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität, Surjektiv Beweis
Zur nächsten Aufg:
f2: Z -> Z
z -> 3z^2 -1

Injektivität hab ich wie gerade bewiesen.

Zur Surjektivität:
f(x) =y
3x^2 -1 = y
x^2 = (y+1)/3

Fall 1: >0
x = Wurzel((y+1)/3)

Fall2: <0
Wie mache ich jz hier weiter?
25.07.2019, 16:31 aralmittel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität, Surjektiv Beweis
Und noch eine Frage zur 3. Funktion:
f3: Q -> Q
q-> 3q-1

Worin besteht hier der Unterschied zur 1. Funktion? Außer natürlich der Zahlenbereich.
Hab die Aufg. genau so wie 1. gelöst. Dürfte aber falsch sein denk ich mal
25.07.2019, 16:43 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aralmittel
Habe jz mit der Surjektivität weiter gemacht.

f(x) = y
y Element Z beliebig
x Element Z

3x-1 = y
x = (y+1) / 3

An dieser Stelle halten wir mal inne: Du bist also der Meinung, dass für jede ganze Zahl die über gebildete Zahl auch eine ganze Zahl ist? Denn genau das müsste gelten, damit hier Surjektivität vorliegt...

Zitat:
Original von aralmittel
f2: Z -> Z
z -> 3z^2 -1

Injektivität hab ich wie gerade bewiesen.

Tatsächlich? Was sagst du zu f(1)=2 und ebenfalls f(-1)=2 ?


Zitat:
Original von aralmittel
Und noch eine Frage zur 3. Funktion:
f3: Q -> Q
q-> 3q-1

[...]
Hab die Aufg. genau so wie 1. gelöst. Dürfte aber falsch sein denk ich mal

Sagen wir es so: Diesmal ist bijektiv richtig, im Gegensatz zur 1.Aufgabe.
25.07.2019, 17:05 aralmittel Auf diesen Beitrag antworten »

ok Danke.

also
f1: injektiv,nicht surjektiv
f2: nicht injektiv, kannst du mir verraten wie ich bei der Surjektivität weiter verfahre?
f3: bijektiv
25.07.2019, 17:54 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aralmittel
f2: nicht injektiv, kannst du mir verraten wie ich bei der Surjektivität weiter verfahre?

Es ist für alle , allein deshalb können ganze Zahlen nicht als Funktionswerte auftreten. Es sind hier durchaus auch andere Begründungen möglich, aber die ist ja schon schön einfach und bequem.
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