Injektivität, Surjektiv Beweis

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aralmittel Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität, Surjektiv Beweis
Meine Frage:
Ich soll auf Injektiv, Surjektiv prüfen/ beweisen.
Finde keinen Ansatz

f1: Z -> Z, z-> 3z-1

Meine Ideen:
Danke
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität, Surjektiv Beweis
Nun ja, was bedeutet denn laut Definition injektiv? Genau das mußt du dann zeigen.
 
 
aralmittel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität, Surjektiv Beweis
f(x1) = f(x2) => x1 = x2.
wie übertrag ich das nun auf meine geg. Funktion?
aralmittel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität, Surjektiv Beweis
Habe das hier gemacht:

sei a, b Element Z.

f(a) = 3a-1
f(b) = 3b-1

3a-1 = 3b-1 <=> a = b

Aber das ist doch nicht der Beweis oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität, Surjektiv Beweis
Exakt das ist er. Manchmal ist ein Beweis nur ein Einzeiler. smile
aralmittel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität, Surjektiv Beweis
Alles klar, danke!
Habe jz mit der Surjektivität weiter gemacht.

f(x) = y
y Element Z beliebig
x Element Z

3x-1 = y
x = (y+1) / 3

x eingesetzt:

3 * ((y+1)/3) -1 = y
y = y

Damit surjektiv?

Also Bijektiv
aralmittel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität, Surjektiv Beweis
Zur nächsten Aufg:
f2: Z -> Z
z -> 3z^2 -1

Injektivität hab ich wie gerade bewiesen.

Zur Surjektivität:
f(x) =y
3x^2 -1 = y
x^2 = (y+1)/3

Fall 1: >0
x = Wurzel((y+1)/3)

Fall2: <0
Wie mache ich jz hier weiter?
aralmittel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität, Surjektiv Beweis
Und noch eine Frage zur 3. Funktion:
f3: Q -> Q
q-> 3q-1

Worin besteht hier der Unterschied zur 1. Funktion? Außer natürlich der Zahlenbereich.
Hab die Aufg. genau so wie 1. gelöst. Dürfte aber falsch sein denk ich mal
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aralmittel
Habe jz mit der Surjektivität weiter gemacht.

f(x) = y
y Element Z beliebig
x Element Z

3x-1 = y
x = (y+1) / 3

An dieser Stelle halten wir mal inne: Du bist also der Meinung, dass für jede ganze Zahl die über gebildete Zahl auch eine ganze Zahl ist? Denn genau das müsste gelten, damit hier Surjektivität vorliegt...

Zitat:
Original von aralmittel
f2: Z -> Z
z -> 3z^2 -1

Injektivität hab ich wie gerade bewiesen.

Tatsächlich? Was sagst du zu f(1)=2 und ebenfalls f(-1)=2 ?


Zitat:
Original von aralmittel
Und noch eine Frage zur 3. Funktion:
f3: Q -> Q
q-> 3q-1

[...]
Hab die Aufg. genau so wie 1. gelöst. Dürfte aber falsch sein denk ich mal

Sagen wir es so: Diesmal ist bijektiv richtig, im Gegensatz zur 1.Aufgabe.
aralmittel Auf diesen Beitrag antworten »

ok Danke.

also
f1: injektiv,nicht surjektiv
f2: nicht injektiv, kannst du mir verraten wie ich bei der Surjektivität weiter verfahre?
f3: bijektiv
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aralmittel
f2: nicht injektiv, kannst du mir verraten wie ich bei der Surjektivität weiter verfahre?

Es ist für alle , allein deshalb können ganze Zahlen nicht als Funktionswerte auftreten. Es sind hier durchaus auch andere Begründungen möglich, aber die ist ja schon schön einfach und bequem.
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