Vergleich von Varianzen

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LeonStudent21 Auf diesen Beitrag antworten »
Vergleich von Varianzen
Hallo,
ich betrachte 2 Stichproben mit den empirischen Varianzen und mit Umfang Man soll jetzt entscheiden, ob gilt. Dazu bietet sich die F- Verteilung an. Man erhält :

Die Begründung ist jetzt, dass die Wahrscheinlichkeit relativ groß ist und deshalb gelten sollte?
Woher weis man das?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein wenig chaotisch formuliert deine Wahrscheinlichkeitszeile. Tatsächlich besitzt unter der Nullhypothese die Testgröße eine F-Verteilung mit Freiheitsgraden. Was du da berechnest ist im Rahmen dieser F-Verteilung tatsächlich



Die Nullhypothese würde zugunsten der einseitigen Alternativhypothese abgelehnt werden, falls gilt, mit Signifikanzniveau des Test. Bei üblichen -Werten wie 1%, 5% oder 10% bedeutet dein jedenfalls stets "keine Ablehnung ".

Eine Schlussfolgerung wie "deshalb gelten sollte" ist tunlichst zu unterlassen, wie stets bei solchen statistischen Tests: Eine passendere Formulierung wäre "Die Daten sprechen nicht signifikant gegen die Annahme ".

Wenn einem das Ergebnis nicht gefällt, weil man der Meinung ist, dass 0.2 doch deutlich höher als 0.14 ist, dann gibt es nur einen Weg: Umfangreichere Stichproben, d.h. höheres : Denn je größer die Stichproben sind, umso signifikanter können dann auch kleine Unterschiede sein.
 
 
LeonStudent21 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine aufschlussreiche Antwort. Das Beispiel habe ich im Kontext mit Stichprobenfunktionen gefunden. Die Hpothesentests kommen erst einige Kapitel später dran. Deshalb ist wohl das Beispiel nicht so gut zu verstehen ohne Hypothesentest behandelt zu haben.
Danke dir smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Eine Schlussfolgerung wie "deshalb gelten sollte" ist tunlichst zu unterlassen

Damit bin ich ganz und gar nicht einverstanden! Big Laugh
Angemessener erscheint mir: Jeder, der einen solchen Schluss zieht, soll auf ewig und alle Zeiten in der statistischen Hölle schmoren.
LeonStudent21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000






Hallo HAL,
ich komme nochmal auf dieses Beispiel zurück. Warum lehnt man ab, wenn p kleiner als das gegebenen Signifikanzniveau ist. Ich finde dazu keine Begründung?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist das grundlegende Konstruktionsprinzip von Signifikanztests:

Signifikanzniveau beschreibt die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1.Art, das ist "eine richtige Nullhypothese abzulehnen". (*)

Wir erinnern uns an

Zitat:
Original von HAL 9000
Tatsächlich besitzt unter der Nullhypothese die Testgröße eine F-Verteilung mit Freiheitsgraden.

D.h., Wahrscheinlichkeitsanteil an den "Rändern" wird dem Ablehnungsbereich zugeordnet, um genau díeses Kriterium (*) zu erfüllen. Ob das nun eine gleichmäßige Aufteilung jeweils oben und unten ist (beim zweiseitigen Test mit Alternativhypothese ) oder aber einseitig unten (einseitig mit ) oder oben (einseitig mit ), das hängt eben von der Wahl der Alternativhypothese ab.

Ich habe oben angesichts der Daten über gesprochen (die andere einseitige Alternative macht ja hier nun gar keinen Sinn), damit überprüft man, ob der Testgrößenwert "zu weit oben" ist, also bzw. äquivalent dazu . Und genau diese Überprüfung fand hier statt:

Zitat:
Original von HAL 9000

Der Wert war eben NICHT , lag nicht weit genug im Randbereich, also keine Ablehnung .


P.S.: Dass das nicht zu verstehen ist, wenn man sich nicht eingehend mit dem Konstruktionsprinzip von Signifikanztests auseinandersetzt, ist mir schon klar.
LeonStudent21 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort. Zu dem dem Zeitpunkt kannte ich die Hypothesentest noch nicht. Deshalb war mir das nicht ganz klar.
Aber wenn wir gerade dabei sind. Nehmen wir, wir haben eine Stichprobe (Umfang n) deren Werte normalverteil sein sollen. Dann haben wir einen Erwartungswert gegeben und wollen untersuchen, ob dieser statitisch korrekt ist.
Dazu konstruieren wir eine Teststatistik, wie folgt: , die Standardnormalverteilt ist.

Wenn man einen linksseitigen Test zugrunde legt, dann ergibt sich der Ablehnungsbereich mit den Quantilen der t-Verteilung, wie folgt:



Dabei wird das Quantil so festgelegt, dass bei a nach rechts kumuliert die Wkt gleich a ist.

Die Frage ist jetzt, was für eine konkrete Stichprobe das T genau ausdrückt. Ist das einfach eine Art standardisierte Abweichung vom wahren Wert, der, wenn er in B liegt, zur Ablehnung der Nullhypothese führt mit einer Wkt von 1-a.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LeonStudent21


Dabei wird das Quantil so festgelegt, dass bei a nach rechts kumuliert die Wkt gleich a ist.

Verstehe ich nicht: Bei deinem links liegenden Ablehnungsbereich sollte schlicht das -Quantil (d.h. nach links) sein. In mancher vorzugsweise älteren Literatur kommt es bisweilen vor, dass man die Quantile "von rechts" zählt - ist aber generell eigentlich nicht mehr üblich, aber womöglich der Grund für deine Aussage. (EDIT: Ich hatte bisher das negative Vorzeichen übersehen, bei dir steht ja tatsächlich . Das spricht dafür, dass du leider Literatur mit der älteren Quantil-Bezeichnungsphilosophie verwendest, mit den daraus folgenden ärgerlichen Missverständnissen)

Und überhaupt: klingt nach t-Quantil, das passt aber nicht zu deiner Testgröße. Kann es sein, dass es gar nicht um den Gauß-Test (mit bekannt) sondern um den einfachen t-Test (mit unbekannt) geht mit der abweichenden Testgröße



mit Stichprobenstandardabweichung statt (welches hier ja gar nicht bekannt ist).



Zitat:
Original von LeonStudent21
Die Frage ist jetzt, was für eine konkrete Stichprobe das genau ausdrückt.

Man kümmert sich zunächst darum, was diese Zufallsgröße (!) für eine mathematische Stichprobe (ebenfalls Zufallsgrößen) unter Annahme der Nullhypothese für eine Verteilung hat. Ist die Grundgesamtheit (und damit die ) normalverteilt, dann besitzt eben eine t-Verteilung mit Freiheitsgraden - für große ähnelt das immer mehr der Standardnormalverteilung. Die Testgröße ist so konstruiert, dass man das unbekannte quasi aus dem Spiel nimmt ("rausdividiert"), das interessiert uns ja hinsichtlich nicht.
LeonStudent21 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine ausführliche Anwort
Das mit dem Quantil finde ich auch verwirrend. Nach der neuen Definition würde dem Quantil das Quantil entsprechen. Man akkumuliert also von links.
Die Standardabweichung ist natürlich falsch in meiner Teststatistik. Da habe ich mich verschrieben.
.


Mit den Zufallsvariablen und der Stichprobenfunktion, von denen diese abhängen,
modelliert man also wie die Messwerte verteilt sein können. Man modelliert alao den Zufall und beobachtet dann die konkreten Ausprägungen.
Das T beschreibt dann also in meinem Fall, wie stark der Mittelwert der Stichprobe vom Erwartungswert streut. In Abhängigkeit von der Streuung kanm man mit dem Signifikanzniveau beurteilen, ob das noch zulässig ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau genommen ist das -Quantil (Wkt von links) und das -Quantil (Wkt von rechts). Nur der Symmetrie der t-Verteilungen ist es zu verdanken, dass gilt.
LeonStudent21 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Stimmen die weiteren Betrachtungen?
Ich meine vor allem, was genau das T beschreibt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na von mir aus, allerdings geht mir dieses zwanghafte alles-und-jedes-interpretierend-beschreibende ziemlich auf den Keks. Man definiert eine Teststatistik, ermiittelt deren Verteilung, und dann ist es auch mal gut - ständig diese Interpretations-Prosaik dazu ist nicht mein Ding.
LeonStudent21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok alles klar. Dann hätte ich in dem Kontext eine analytische Frage zu den Konfidenzintervallen. Man sucht einen zufälliges Intervall, dass einen zu schätzenden festen Parameter entählt mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit 1-a.
Dazu betrachtet man bei bekannter Varianz eine standardnormalverteilte Zufallsgröße. Es muss gelten:



mit Die im Mittelwert vorkommen ZG sind normalverteilt. Dann gilt:


Mir geht es darum, dass doch aus < wird.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir reden hier von stetig verteilten Zufallsgrößen und demzufolge auch stetig verteiltem Mittelwert . Da für stetig verteilte Zufallsgrößen Einzelpunktwahrscheinlichkeiten wie für alle reellen ist, macht es überhaupt keinen Unterschied für die Wahrscheinlichkeit, ob man nun oder im betreffenden Ereignis schreibt. Du kannst also gern auch hinten schreiben, ist beides richtig. Augenzwinkern

Ander sieht es aus bei diskreten Zufallsgrößen, da spielt es schon eine Rolle ob oder .
LeonStudent21 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Vielen Dank HAL. Du hast mir sehr geholfen smile Freude
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