Grenzwert Gleichung beweisen

26.07.2019, 16:08

NovaX

Grenzwert Gleichung beweisen

Meine Frage:
Vollständige Aufgabe: Zeigen Sie
lim x gegen unendlich (keine Vorzeichen oder sowas in der Art)

x ln (1+(1/x)) = 1

Meine Ideen:
Ich nehme mal an ich soll Beweisen das die Funktion egal was ich für X einsetze gegen den Grenzwert 1 läuft.

Wenn ich jetzt für x = unendlich einsetze hab ich ja 1/unendlich = 0 + 1 = 1
unendlich * ln(1) = 0 da ln(1) = 0 ergibt und unendlich * 0 = 0 ist.
Da kann ja was nicht ganz stimmen.

26.07.2019, 16:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von NovaX
Da kann ja was nicht ganz stimmen.

Allerdings, und zwar mit deiner unbekümmerten Auffassung vom Grenzwertbegriff, der sich auch schon in dem "egal was ich für X einsetze" offenbarte.

Ist das dein erster Grenzwert, denn du zu Gesicht bekommst? Dein "Einsetzen" ist Unsinn - was du benutzen darfst sind Grenzwertsätze, z.B. für das Produkt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} \left(f(x)\cdot g(x)\right) \stackrel{?}{=} \lim_{x\to\infty} f(x)\cdot \lim_{x\to\infty} g(x)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

ist aber nur anwendbar, wenn beide Grenzwerte rechts existieren!!! Das ist im Fall $\begin{eqnarray*} f(x)=x , g(x)=\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ aber nur für den zweiten Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} g(x) = 0 \end{eqnarray*}$ der Fall, während das "uneigentliche" $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} f(x) = \infty \end{eqnarray*}$ NICHT als existenter Grenzwert zählt, somit ist (*) auf dieses Paar $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ NICHT anwendbar.

Möglich wäre hier z.B. der Grenzwertsatz von L'Hospital (sofern bekannt): $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} \frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)}{\left(-\frac{1}{x^2}\right)} = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{1+\frac{1}{x}} = 1 \end{eqnarray*}$ .

26.07.2019, 21:28

NovaX

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Also das mit den einsetzen ging bisher immer ohne Probleme und meine Ergebnisse hab ich auch immer mit Wolfram Alpha überprüft.
Ich meine der einzige Grund warum es hier nicht geht ist das ich das erste mal eine Grenzwert Funktion habe mit log und da gibts eben einen feinen unterschied zwischen 1 und 1,000000000000000000000000000000000000000001 der in einer solchen Rechnung eben den Unterschied macht.

L Hopstital kenn ich, aber das man die Gleichung auch wie du es gemacht hast auf
/ 1/x stellt statt der x * und dann in der Gleichung wenn ich X gegen unendlich laufen lasse 0/0 kriege was ja den L Hospital ins Spiel bringt, umstellen kann hab ich nicht gesehen.

27.07.2019, 08:35

Leopold

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Hier steckt ja nur die Eulersche Zahl $\begin{align*} \operatorname{e} \end{align*}$ dahinter:

$\begin{align*} x \cdot \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) = \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \end{align*}$

Und $\begin{align*} \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = \operatorname{e} \end{align*}$ gehört zum Elementaren der Höheren Analysis. Die Stetigkeit der Logarithmusfunktion vollendet die Rechnung

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