Vervollständigung

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27.07.2019, 08:55	LeonStudent21	Auf diesen Beitrag antworten »
Vervollständigung Hallo, ich betrachte einen Maßraum, also das Tripel $\begin{eqnarray} (X.\mathcal A, \mu) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mathcal N:=\{A\subset X. \mu(A)=0\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \bar{ \mathcal A}=\{A \cup N: A \in \mathcal A, N \in \mathcal N\} \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} \bar{\mu}: \bar{\mathcal A} \rightarrow [0, \infty], \bar{\mu}(A \cup N):= \mu(A) \forall A \in \mathcal A, N \in \mathcal N \end{eqnarray}$ die Vervollständigung von $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ Als Bemerkung kann man dazu sagen, dass diese die vollständige Fortsetzung von $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ mit minimalen Definitionsbereich ist. Was ist mit minimalen Definitionsbereich gemeint. Einfach die Mengen mit Maß 0?
27.07.2019, 10:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vervollständigung Minimal heißt: Sei $\begin{eqnarray} \mu_2\colon \mathcal A_2 \to [0,\infty] \end{eqnarray}$ eine Fortsetzung von $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ , welche vollständig ist, dann: $\begin{eqnarray} \overline{\mathcal A } \subset \mathcal A_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overline \mu(A) = \mu_2(A) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} A \in \overline{\mathcal A} \end{eqnarray}$ . Jede andere Sigma-Algebra $\begin{eqnarray} \mathcal A_2 \end{eqnarray}$ kann nur größer sein, also ist $\begin{eqnarray} \overline{\mathcal A} \end{eqnarray}$ minimal bzgl. der Mengeninklusion.
27.07.2019, 11:05	LeonStudent21	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vervollständigung Aber warum ist diese dann minimal?
27.07.2019, 11:06	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vervollständigung Ist das eine Frage der Linguistik (wie ist Minimal zu verstehen) oder eine Frage der Mathematik (warum ist $\begin{eqnarray} \overline{\mathcal A} \end{eqnarray}$ minimal?
27.07.2019, 11:10	LeonStudent21	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vervollständigung Eine Frage der Mathematik, sorry. Warum ist $\begin{eqnarray} \bar{\mathcal A} \end{eqnarray}$ minimal?
27.07.2019, 11:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vervollständigung Sei $\begin{eqnarray} \mu_2, \mathcal A_2 \end{eqnarray}$ wie eben. Da es eine Fortsetzung ist, gilt $\begin{eqnarray} \mathcal A \subset \mathcal A_2 \end{eqnarray}$ . Als Vervollständig gilt per Definition $\begin{eqnarray} \mathcal N \subset \mathcal A_2 \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} A_2 \end{eqnarray}$ eine Sigma-Algebra ist, und abgeschlossen unter Vereinigung von Mengen gilt $\begin{eqnarray} A \cup N \in \mathcal A_2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} A \in \mathcal A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N \in \mathcal N \end{eqnarray}$ . Folglich also $\begin{eqnarray} \{ A \cup N \in \mathcal A_2: A \in \mathcal A, N \in \mathcal N\} \subset \mathcal A_2 \end{eqnarray}$ . Nach Definition von $\begin{eqnarray} \overline{\mathcal A} \subset \mathcal A_2 \end{eqnarray}$ . Es gibt also keine kleinere vollständige Fortsetzung.
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27.07.2019, 11:33	LeonStudent21	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vervollständigung Vielen Dank. Das habe ich verstanden. Ich hätte noch eine andere Frage in dem Kontext mit Forsetzungen. Sagen wir ich habe ein Maß $\begin{eqnarray} \mu_x \end{eqnarray}$ das mit dem Lebesgue-Maß $\begin{eqnarray} \lambda^n \end{eqnarray}$ auf dem Ring der Figuren $\begin{eqnarray} \mathcal F \end{eqnarray}$ übereinstimmt. Gilt dann auch $\begin{eqnarray} \mu_x = \lambda^n \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \sigma(F) = \mathcal B(\mathbb R^n) \end{eqnarray}$ Das müsste doch der Fall sein. Das lebesguemaß ist auf dem Ring ein sigma-endliches Prämaß. Dadurch gibt es nur eine eindeutige Fortsetzung?
27.07.2019, 13:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vervollständigung Jop
27.07.2019, 13:48	LeonStudent21	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vervollständigung Nochmals danke dir Ich will nicht unverschämt klingen, aber ich hätte noch eine letzte Frage: Man betrachtet ein translationsinvariantes Maß $\begin{eqnarray} \mu: \mathcal B (\mathbb R^n) \rightarrow [0, \infty] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mu((0,1]^n = C <\infty \end{eqnarray}$ Dann gilt $\begin{eqnarray} \mu= C \lambda^n \end{eqnarray}$ Als erstess zeigt man diese Aussage für disjunkte Würfel in $\begin{eqnarray} (0,1]^n \end{eqnarray}$ . Dazu betrachtet man die Menge: $\begin{eqnarray} \mathcal W_m := \prod_{i=1}^n (\frac{k_i-1}{m}, \frac{k_i}{m} ]: k_1,...,k_n \in \{1,....,m\} \} \end{eqnarray}$ Man hat hier also disjunkte Würfel mit $\begin{eqnarray} \lambda^n(W)=\frac{1}{m}^n \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} W \in \mathcal W_m \end{eqnarray}$ Außerdem gilt: $\begin{eqnarray} \mu(W)= C_m \leq C \end{eqnarray}$ Wegen der Additivität von $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} [0,1)^n = \bigcup_{W \in \mathcal W_m} W \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} C=\mu( [0,1)^n )= \sum_{W \in \mathcal W_m } \mu(W) \underbrace{=}_{?} m^n C_m \end{eqnarray}$ Die Frage wäre, wo das $\begin{eqnarray} m^n \end{eqnarray}$ herkommt. Ist das vllt ein Fehler?
27.07.2019, 13:54	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kommt einfach daher, dass $\begin{eqnarray} \# \mathcal W_m = m^n \end{eqnarray}$ , d.h. man hat den Einheitswürfel in $\begin{eqnarray} m^n \end{eqnarray}$ kleine Würfel geteilt. Und fragen ist nie unverschämt. Dafür ist das Forum ja da
27.07.2019, 14:18	LeonStudent21	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe leider nicht, woher man genau weiß, dass die Mächtigkeit dieser Würfelmenge genau $\begin{eqnarray} m^n \end{eqnarray}$ ist?
27.07.2019, 14:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Was man macht, ist den Einheitswürfel in Würfel der Kantenlänge $\begin{eqnarray} 1/m \end{eqnarray}$ zu zerlegen. Was $\begin{eqnarray} \mathcal W_m \end{eqnarray}$ dann macht ist alle Würfel aufzuzählen. Wenn wir in $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ sind, und $\begin{eqnarray} m= 3 \end{eqnarray}$ , so erhalten wir ein $\begin{eqnarray} 3 \times 3 \end{eqnarray}$ Gitter. Ist $\begin{eqnarray} k_1 = k_2 = 1 \end{eqnarray}$ , ist es das Quadrat unten links in der Ecke. Bei $\begin{eqnarray} k_1 = k_2 = 2 \end{eqnarray}$ das Quadrat in der Mitte und $\begin{eqnarray} k_1 = k_2 = 3 \end{eqnarray}$ das Quadrat oben rechts in der Ecke. Bei $\begin{eqnarray} k_1 = 1 \end{eqnarray}$ bekommen wir die Quadrate "links", bei $\begin{eqnarray} k_2=1 \end{eqnarray}$ die Quadrate unten. Etwas abstrakter $\begin{eqnarray} \|\{ (k_1, k_2, \ldots, k_n \in \{ 1, \ldots, m \} \} \| = \| \{ 1, \ldots, m \}^n \|= \| \{ 1, \ldots, m \} \|^n = m^n \end{eqnarray}$ .
27.07.2019, 18:08	LeonStudent21	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann mir das noch nicht genau vorstelllen: Wenn ich $\begin{eqnarray} k_1=k_2=1 \end{eqnarray}$ , dann habe ich doch $\begin{eqnarray} [0, \frac{1}{3} ] \times [0, \frac{1}{3} ] \end{eqnarray}$ Was meinst du dann mit links unten in der Ecke?
28.07.2019, 09:29	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Male dir mal ein Koordinationssystem auf. Unterteile das Einheitsquadrat in 9 kleine Quadrate. Jedes der kartesischen Produkte ist eines davon. Ich weiß leider nicht wie ich das besser beschreiben kann.

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