Transzendente Gleichung auflösen

27.07.2019, 08:59	ALFI	Auf diesen Beitrag antworten »
Transzendente Gleichung auflösen Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe die folgende Formel und muss nach H hin umstellen. mit cosh = Cosinus Hyperbolicus Alle anderen Variablen sind gegeben, die Formel umgestellt nach H, wollte ich in VBA (Excel) programmieren. Hat jemand eine analytische/nummerische Lösung? Meine Ideen: Problem ist, dass jede Idee die ich aufweise kann ( und das sind nicht viele ) mit imaginären Zahlen gelöst werden muss. Daher hoffe ich auf Hilfe hier =)
27.07.2019, 09:01	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Auflösen nach H Welche Formel?
27.07.2019, 09:04	ALFI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Auflösen nach H $\begin{eqnarray} f= \frac{H}{m} \left[cosh\left(\frac{m\cdot a}{2\cdot H}\right) - 1\right] \end{eqnarray}$
27.07.2019, 09:09	ALFI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Auflösen nach H f ist auch eine Variable und steht nicht für f(x).
27.07.2019, 09:10	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Auflösen nach H Sieht nach einem furchtbaren Ausdruck aus. Ggf. kann man mit Lambertsche W-Funktion was analytisch ausdrücken.
27.07.2019, 10:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommt auch darauf an, in welcher Größenordnung sich Argument $\begin{eqnarray} \frac{m\cdot a}{2\cdot H} \end{eqnarray}$ befindet: Ist es beispielsweise betragsmäßig sehr klein, d.h. $\begin{eqnarray} \ll 1 \end{eqnarray}$ , so kommt man via $\begin{eqnarray} \cosh(x) = 1+\frac{x^2}{2}+O\left(x^4\right) \end{eqnarray}$ zur Näherung $\begin{eqnarray} f\approx \frac{H}{m}\cdot \frac{m^2a^2}{8H^2} = \frac{ma^2}{8H} \end{eqnarray}$ , umgestellt $\begin{eqnarray} H\approx \frac{ma^2}{8f} \end{eqnarray}$ . Unter der genannten Annahme $\begin{eqnarray} \left\|\frac{m\cdot a}{2\cdot H}\right\|\ll 1 \end{eqnarray}$ kann dieser Wert zumindest als guter Startwert eines Iterationsverfahren dienen, z.B. Newton.
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29.07.2019, 13:25	ALFI	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke dir für den Tipp. Es liefert auch schon die richtigen Ergebnisse wenn der Quotient << 1 ist. Wenn allerdings größer wird, kann das teilweise unterschiedliche Ergebnisse liefern. Hat vielleicht noch jemand ein zündende Idee ?
29.07.2019, 15:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für große $\begin{eqnarray} \frac{ma}{2H}\gg 1 \end{eqnarray}$ ist der Tipp von IfindU einen Blick wert: In dem Fall ist $\begin{eqnarray} \cosh\left(\frac{ma}{2H}\right)-1\approx \frac{1}{2}\exp\left(\frac{ma}{2H}\right) \end{eqnarray}$ und man bekommt via $\begin{eqnarray} -\frac{a}{4f} \approx -\frac{ma}{2H}\exp\left(-\frac{ma}{2H}\right) \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} -\frac{ma}{2H} \approx W_k\left(-\frac{a}{4f}\right)\qquad () \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H\approx -\frac{ma}{2W_k\left(-\frac{a}{4f}\right)} \end{eqnarray}$ mit den Lambertschen W-Funktionen $\begin{eqnarray} W_k \end{eqnarray}$ . Gerade für negative Argumente $\begin{eqnarray} -\frac{1}{e} < -\frac{a}{4f} < 0 \end{eqnarray}$ besitzt LambertW zwei reelle Zweige (k=0 und k=-1), das ist zu beachten. Allerdings wird die Näherungsbedingung $\begin{eqnarray} \frac{ma}{2H}\gg 1 \end{eqnarray}$ allenfalls von der betragsgrößeren der beiden Lösungen in () erfüllt, das ist die für k=-1. In der Grauzone zwischen diesen beiden Randlagen wird dir aber wirklich nichts weiter übrig bleiben als Näherungsverfahren anzuwenden.

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