Fourier Transformation

27.07.2019, 17:59

KoenigVonAugsburg

Fourier Transformation

Hallo,

ich möchte wissen ob ich die Fourier Transformation richtig durchgeführt habe.

Also ich soll die Fourier-Transformierte:

$\begin{eqnarray*} F_k = \int_{-\infty}^{\infty} \! dx \, e^{-ikx}f(x) \end{eqnarray*}$

folgender Funktion berechnen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \theta (x) \cdot x \cdot e^{-ax} \end{eqnarray*}$

Das Habe ich gemacht:

Die Funktion ist nur für x >= 0 nicht null, somit gilt:

$\begin{eqnarray*} F_k = \int_{-\infty}^{\infty} \! dx \, e^{-ikx}f(x) = \int_{0}^{\infty} \! dx \, e^{-ikx} \cdot x \cdot e^{-ax}= \int_{0}^{\infty} \! dx \, e^{-ikx-ax} \cdot x = \int_{0}^{\infty} \! dx \, e^{x \cdot (-ik-a)} \cdot x \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nicht verrechnet habe folgt aus der Partiellen Integration:

= $\begin{eqnarray*} \left[x \cdot e^{x \cdot (-ik -a)}\right]_{0}^{\infty} - \frac{e^{x \cdot (-ik -a)}}{(-ik-a)^2}\bigg \vert _{0}^{\infty} \end{eqnarray*}$

Der rechte Summand ist gleich null.
Der zweite lässt sich so umformen:

= $\begin{eqnarray*} \left[\frac{x}{e^{x \cdot (ik +a)}}\right]_{0}^{\infty} \end{eqnarray*}$

habe ich mich bereits irgendwo vertan? Was muss ich als nächstes machen?

28.07.2019, 09:44

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourier Transformation
Fehlt da nicht die Angabe $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ , denn sonst konvergiert das Integral nicht.

Zitat:

Original von KoenigVonAugsburg
Wenn ich mich nicht verrechnet habe folgt aus der Partiellen Integration:

= $\begin{eqnarray*} \left[x \cdot e^{x \cdot (-ik -a)}\right]_{0}^{\infty} - \frac{e^{x \cdot (-ik -a)}}{(-ik-a)^2}\bigg \vert _{0}^{\infty} \end{eqnarray*}$

Das ist fast richtig. Korrekt wäre

= $\begin{eqnarray*} -\frac 1 {a+ik} \left[x \cdot e^{x \cdot (-ik -a)}\right]_{0}^{\infty} - \frac{e^{x \cdot (-ik -a)}}{(-ik-a)^2}\bigg \vert _{0}^{\infty} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Der rechte Summand ist gleich null.

Nein!
Mit oder ohne meine Korrektur, der linke Summand ist Null. Und für den rechten Summanden ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {(a+ik)^2} \end{eqnarray*}$

Das ist die gesuchte Fouriertransformierte.

28.07.2019, 15:11

KoenigVonAugsburg

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine antwort!

Warum ist $\begin{eqnarray*} e^{x \cdot (-ik -a)} = 1 \end{eqnarray*}$ für x gegen unendlich?

28.07.2019, 15:16

KoenigVonAugsburg

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat sich erledigt. für x gegen unendlich ist es null, aber für x = 0 halt 1.

28.07.2019, 19:58

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist also alles geklärt!?