t = s cos(wt) + A sin(wt) nach t auflösen

28.07.2019, 06:16

Risch

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t = s cos(wt) + A sin(wt) nach t auflösen

Meine Frage:
Es geht um eine Schwingungsgleichung:

x = s cos(wt) + A sin(wt)

Es wird nur der erste Durchgang betrachtet. Hier soll für ein bestimmtes x die Geschwindigkeit ermittelt werden. Dazu benötige ich t(x).
Lässt sich die o.g. Gleichung nach t auflösen?

Meine Ideen:
Für die Geschwindigkeit erhalte ich:

v = -s w sin(wt) + A w cos(wt)

Das sollte passen, oder?

28.07.2019, 08:06

Hausmann

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RE: t = s cos(wt) + A sin(wt) nach t auflösen
Scheint eine physikalisches Problem zu sein, wo die komplette Originalfrage hilfreich wäre (mit eventuell anderer Darstellung der Schwingung).

28.07.2019, 08:48

Leopold

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Rechne nach, daß gilt:

$\begin{align*} v^2 - \omega^2 \left( A^2 + s^2 - x^2 \right) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} v= \pm \, \omega \, \sqrt{A^2 + s^2 - x^2} \end{align*}$

Bewegt sich das Objekt von der Mittellage zum Umkehrpunkt, so haben $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} v \end{align*}$ dasselbe Vorzeichen, bewegt es sich vom Umkehrpunkt zur Mittellage, haben $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} v \end{align*}$ unterschiedliches Vorzeichen.

28.07.2019, 11:17

Risch

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@all: vielen Dank

Es geht um die Berechnung der Geschwindigkeit an einer beliebigen Stelle.

x(t)=s*cos(t*(R/m)^0,5)+v(m/R)^0,5*sin(t*(R/m)^0,5)-s

Eine mit einer Masse verbundene Feder stellt ein schwingungsfähiges Gebilde dar. Es wird ein Stoß eingeleitet.
v: Stoßgeschwindigkeit (6 m/s)
s: Vorspannung der Feder (0,046 m)
R: Federkonstante (670 N/m)
m: Masse (0,225 kg)
x: resultierende Auslenkung

Gesucht ist nun z.B. die Geschwindigkeit, wenn x=0,03 m.

28.07.2019, 11:35

HAL 9000

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Naja, das ist doch fast dasselbe wie oben (mit $\begin{eqnarray*} \omega = \sqrt{\frac{R}{m}} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} A=\frac{v_0}{\omega} \end{eqnarray*}$ ) - mit der Ausnahme, dass du oben die "Verschiebung" durch die Vorspannung $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ schon im $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ mit drin hattest, in deinem letztem Beitrag aber nicht. Insofern ist deine Bezeichnung $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ für beides ein wenig inkonsistent - für deinen letzten Ansatz muss nun Leopolds Formel zu

$\begin{eqnarray*} v= \pm \omega \sqrt{A^2 + s^2 - (x+s)^2} \end{eqnarray*}$

abgewandelt werden.

P.S.: Ein weiterer ärgerlicher Symbolkonflikt in deiner letzten Formel liegt bei

Zitat:

Original von Risch
v: Stoßgeschwindigkeit (6 m/s)

vor: Vermutlich meinst du damit die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t=0, deswegen habe ich die in Abgrenzung zu $\begin{eqnarray*} v=v(t) \end{eqnarray*}$ besser mal $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$ genannt.

28.07.2019, 12:29

Hausmann

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Nochmal die Bitte nach der physikalischen Originalaufgabe und zweitens:
Es ist nicht t(x), sondern v(x) gesucht, wo der Energiesatz hilfreich sein dürfte.

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28.07.2019, 14:26

Risch

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@ all: nochmals vielen Dank für die Unterstützung.

@HAL 9000: (x+s) - das wars! Ich verneige mich! Herzlichen Dank!

29.07.2019, 06:06

Risch

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Nochmals bzgl.
x(t)=s*cos(t*(R/m)^0,5)+v(m/R)^0,5*sin(t*(R/m)^0,5)-s

Bin noch immer an einer Funktion für t(x) interessiert.

Nachdem ich über
A*cos(wt)+b*sin(wt)=R*cos(wt-phi)
Mit R=sqrt(A2+B2) , tan(phi)=B/A

zu diesem Ergebnis
t(x)=(arccos((x+s)/sqrt(A²+B²))+arctan(B/A))/É

kam, dauerte es eine Weile, bis ich es mir dann in der Graphik betrachtete.
Diese Formel liefert den Wert nach dem ersten Maximum. Es liegt wohl an dem Vorzeichen des phi in
A*cos(wt)+b*sin(wt)=R*cos(wt-phi)

Wird hier an Stelle von -phi nun +phi eingesetzt, erhalte ich wiederum -t. D.h. den korrekten Wert, aber mit negativem Vorzeichen. Könnte bitte jemand den korrekten Einstieg nennen? Wie gesagt, o.g. Lösungsansatz liefert ein phasenverschobenes Ergebnis.

29.07.2019, 09:56

Hausmann

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Wenn ich den Hinweis mit der Stoß richtig interpretiere, so wird
dem Schwinger bei x = s die Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} \text{v}(s) \end{eqnarray*}$ "verabreicht"(?).
Damit ergibt sich die gesuchte $\begin{eqnarray*} \text{v}(x) \end{eqnarray*}$ sofort aus dem Energiesatz
$\begin{eqnarray*} 1/2\ m\text{v}^2+1/2\ Rx^2=1/2\ m\text{v}(s)^2+1/2\ Rs^2:=E \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \omega^2=R/m\Rightarrow \text{v}(x)=\sqrt{2E/m-\omega^2x^2} \end{eqnarray*}$

29.07.2019, 11:11

HAL 9000

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@Risch

OK, was tust du da im einzelnen: Du überführst zunächst $\begin{eqnarray*} x(t)=s\cos(\omega t)+v_0\omega\sin(\omega t)-s \end{eqnarray*}$ in die Darstellung mit Amplitude+Phase, d.h. $\begin{eqnarray*} x(t)=R\cos(\omega t-\varphi)-s \end{eqnarray*}$ .
In dem Zusammenhang ist $\begin{eqnarray*} R =\sqrt{s^2+v_0^2\omega^2} \end{eqnarray*}$ richtig, ja. $\begin{eqnarray*} \tan(\varphi) = \frac{v_0\omega}{s} \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls richtig, und $\begin{eqnarray*} \varphi = \arctan\left(\frac{v_0\omega}{s}\right) \end{eqnarray*}$ stimmt dann zumindest unter der Zusatzvoraussetzung $\begin{eqnarray*} s>0 \end{eqnarray*}$ (die bei dir hoffentlich erfüllt ist), allgemein richtig auch im Fall $\begin{eqnarray*} s\leq 0 \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} \varphi = \operatorname{atan2}\left(v_0\omega,s\right) \end{eqnarray*}$ .

Basierend auf $\begin{eqnarray*} x=R\cos(\omega t-\varphi)-s \end{eqnarray*}$ bekommt man bei gegebenen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erst mal $\begin{eqnarray*} \cos(\omega t-\varphi)=\frac{x+s}{R} \end{eqnarray*}$ mit den Lösungswerten $\begin{eqnarray*} \omega t-\varphi = \pm\arccos\left(\frac{x+s}{R}\right) + 2k\pi \end{eqnarray*}$ für alle ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , umgestellt $\begin{eqnarray*} t = \frac{1}{\omega}\left( \varphi \pm\arccos\left(\frac{x+s}{R}\right) + 2k\pi \right) \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich dich richtig verstehe, suchst du nun unter all diesen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ -Lösungen die kleinste positive, oder? Ob das nun die + oder -Variante ist, mit k=0 oder k=1, wird je nach gegebener Parameterkonstellation zu eruieren sein.

29.07.2019, 21:35

Risch

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@ Hausmann: Vielen Dank!
Dein v(x)=sqrt sieht sehr kompakt aus. Geradezu verführerisch!
Sorry, Du hast es hier mit einem absoluten Laien zu tun. Was bedeutet die Schreibweise
:=E

@ HAL 9000: Nochmals herzlichen Dank.
Konnte Deine Erklärung gut nachvollziehen und fühle mich nun bestätigt.

Nur habe ich leider keine Erfahrung mit dem Formeleditor und so kam es nun, dass Du leider v0w gelesen hast, wo "v(m/R)^0,5" stand. Mein Fehler.

Dennoch: Vielen Dank für Deine Hilfe. Meine Frage ist beantwortet.

29.07.2019, 23:14

Hausmann

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Hallo Risch,

das sind zwei Herangehensweisen:
- eher mathematisch (matheboard):
Du möchtest die Schwingungsgleichung x(t) nach t(x) umstellen, um v(x) zu bestimmen.
- eher physikalisch: Schwingungsgleichung und t(x) interessieren nicht, es geht nur um v(x),
man bleibt beim schlichten Energiesatz: E ist die Energie = Bewegungsenergie + Federenergie
und wird fixiert durch die Situation unmittelbar nach dem Anstoß*) (" := " entspr. "Bezeichnung").
Ist die Winkelfrequenz $\begin{eqnarray*} \omega^2:=R/m \end{eqnarray*}$ bekannt?

Nochmal sauber $\begin{eqnarray*} E(x)=E(s)=E \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1/2\ m\text{v}^2+1/2\ Rx^2=1/2\ m\text{v}(s)^2+1/2\ Rs^2=E \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\text{v}(x)=\sqrt{2E/m-\omega^2x^2} \end{eqnarray*}$

*) Wenn ich den Sachverhalt richtig interpretiere.

30.07.2019, 07:39

Risch

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Hallo Hausmann,

vielen Dank für die Erläuterung, insbesondere bzgl. ":=".
Ich war bei Deiner früheren Erklärung durch das E etwas irritiert. Dachte schon, wir wären nun beim Elastizitätsmodul des Federmaterials angelangt. Asche auf mein Haupt.

Die Werte für R und m sind bekannt. Deine Formel passt. Ich habe lediglich ein negatives Vorzeichen für 1/2 Rx² gewählt, weil im betrachteten Anwendungsfall die Spannarbeit der Feder der Bewegungsenergie entgegenwirkt.

Vielen Dank für Deine Unterstützung.

@ all: Tolle Community!

03.08.2019, 08:13

Risch

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@ Leopold

Ich bin noch immer von der Formel
v=±É(A²+s²-(x+s)²)^0,5

verblüfft.
Wie leitet sich diese Gleichung her, was ist der gedankliche Ansatz? Kannst Du evtl. eine Quelle nennen?

03.08.2019, 09:32

Leopold

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Ich bin kein Physiker und argumentiere daher rein mathematisch. Ich nehme einmal die ursprünglichen Bezeichnungen, da ich den Strang nicht im einzelnen verfolgt habe:

$\begin{align*} x = s \cdot \cos \left( \omega t \right) + A \cdot \sin \left( \omega t \right) \end{align*}$

$\begin{align*} v = \dot{x} = - s \omega \cdot \sin \left( \omega t \right) + A \omega \cdot \cos \left( \omega t \right) \end{align*}$

Die Grundidee ist der trigonometrische Pythagoras: $\begin{align*} \sin^2 \tau + \cos^2 \tau = 1 \end{align*}$ . Mit ihm fällt das Argument $\begin{align*} \tau \end{align*}$ aus der Rechnung heraus.

Ausdrücke dieser Art erhält man, indem man $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} v \end{align*}$ quadriert:

$\begin{align*} x^2 = s^2 \cos^2 \left( \omega t \right) + A^2 \sin^2 \left( \omega t \right) + 2As \cdot \sin \left( \omega t \right) \cos \left( \omega t \right) \end{align*}$

$\begin{align*} v^2 = s^2 \omega^2 \sin^2 \left( \omega t \right) + A^2 \omega^2 \cos^2 \left( \omega t \right) - 2 As \cdot \omega^2 \sin \left( \omega t \right) \cos \left( \omega t \right) \end{align*}$

Vergleicht man die Vorfaktoren, so fällt auf, daß bei $\begin{align*} v^2 \end{align*}$ überall noch ein $\begin{align*} \omega^2 \end{align*}$ mit dabei ist. Also wird $\begin{align*} x^2 \end{align*}$ noch mit $\begin{align*} \omega^2 \end{align*}$ multipliziert, und die beiden Gleichungen werden addiert. In $\begin{align*} \omega^2 x^2 + v^2 \end{align*}$ kann nun nach Ausklammern der Vorfaktoren zweimal der trigonometrische Pythagoras angewandt werden, und die gemischten Glieder aus den binomischen Formeln heben sich, ein Glück, gegenseitig weg. Man hat sich von der Zeit $\begin{align*} t \end{align*}$ befreit.

03.08.2019, 11:21

Risch

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Hallo Leopold,

ich bin total weg vor Begeisterung, aber eins verstehe ich nicht: Den Schritt, bei dem beide Gleichungen addiert werden.
Ich sehe hier die erste Gleichung, die logisch nachvollziehbar umgewandelt wurde und nun eine Geschwindigkeit darstellt, und die zweite Gleichung, nämlich die Ableitung von x(t). Deine Erklärung ist verständlich, aber es scheitert bei mir an einem Punkt: Was ist die Logik dahinter, beide Gleichungen zu addieren?

Viele Grüße
Risch

03.08.2019, 12:21

Leopold

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Statt einer Antwort eine Gegenfrage: Wenn es dir nicht gefällt, die Gleichungen zu addieren, warum subtrahierst du sie dann nicht oder multiplizierst oder dividierst sie nicht?

03.08.2019, 12:29

Risch

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Hallo Leopold,

bitte entschuldige. Ich war zu sehr auf die Eigenständigkeit von Gleichung 1 und 2 fixiert.
Jetzt habe ich es verstanden. Klaro kann man mit einer Gleichung alles machen, so lange man es auf beiden Seiten durchführt.
Manno, ich stand auf der Leitung, sah den Wald vor lauter Bäumen nicht.

Vielen Dank für Deine Unterstützung und schönes Wochenende
Risch

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