Wetter und Vorlesungsbesuch

28.07.2019, 13:46

AnnaM195

Wetter und Vorlesungsbesuch

Hallo liebes Forum,
ich habe folgende Aufgabenstellung:
Eine Lehramtsstudentin geht immer zur Vorlesung, wenn es regnet.
Scheint hingegen die Sonne, so besucht sie im Mittel nur jede zweite Vorlesung. Bei sonstigem
Wetter besucht sie durchschnittlich vier von fünf Vorlesungen. Das Wetter sei zu 20% sonnig
und zu 30% regnerisch.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehramtsstudentin bei einer zufällig ausgewählten Vorlesung anwesend ist.

Ich betrachte die Ereignisse: $\begin{eqnarray*} A:=\{ Regen\}, B:=\{ Sonne\}, C:=\{ geht zur Vorlesung\} \end{eqnarray*}$

Dann gilt: $\begin{eqnarray*} P(C|A)=1, P(C|B)=0,8 \end{eqnarray*}$

Gesucht ist: $\begin{eqnarray*} P(C)= P(A) P(C|A) + P(B) P(C|B)= 0,46 \end{eqnarray*}$
Wäre das richtig?

Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen

28.07.2019, 15:26

klauss

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RE: Wetter und Vorlesungsbesuch
Den Vorlesungsbesuch bei sonstigem Wetter hast Du gar nicht berücksichtigt, dafür die dazu gehörige bedingte Wahrscheinlichkeit der Sonne zugeordnet.

28.07.2019, 17:10

AnnaM195

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RE: Wetter und Vorlesungsbesuch
Hallo,
ich hätte gedacht dieser Term wäre das:

$\begin{eqnarray*} P(B) P(C|B) \end{eqnarray*}$

28.07.2019, 17:21

klauss

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RE: Wetter und Vorlesungsbesuch
Es gibt 3 Wetterlagen - Regen, Sonne, sonstige - mit unterschiedlichen Eintritts- und Besuchswahrscheinlichkeiten, die mußt Du natürlich alle verarbeiten.
Lies die Aufgabe nochmal genau durch.

28.07.2019, 17:31

AnnaM195

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RE: Wetter und Vorlesungsbesuch
Oh stimmt. Dann nochmal

Zitat:

Original von AnnaM195
Hallo liebes Forum,
ich habe folgende Aufgabenstellung:
Eine Lehramtsstudentin geht immer zur Vorlesung, wenn es regnet.
Scheint hingegen die Sonne, so besucht sie im Mittel nur jede zweite Vorlesung. Bei sonstigem
Wetter besucht sie durchschnittlich vier von fünf Vorlesungen. Das Wetter sei zu 20% sonnig
und zu 30% regnerisch.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehramtsstudentin bei einer zufällig ausgewählten Vorlesung anwesend ist.

Ich betrachte die Ereignisse: $\begin{eqnarray*} A:=\{ Regen\}, B:=\{ Sonne\}, C:=\{ sonstiges Wetter\} D:= \{ geht zur Vorlesung \} \end{eqnarray*}$

Dann gilt: $\begin{eqnarray*} P(D|A)=1, P(D|B)=0,5, P(D|C)=0,8 \end{eqnarray*}$

Gesucht ist: $\begin{eqnarray*} P(D)= P(A) P(D|A) + P(B) P(D|B)+ P(C) P(D|C) \end{eqnarray*}$
Wäre das richtig?

Das müsste es sein?

28.07.2019, 17:37

klauss

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RE: Wetter und Vorlesungsbesuch
Kann ich bestätigen. Welches zahlenmäßige Endergebnis folgt daraus?

28.07.2019, 17:49

AnnaM195

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RE: Wetter und Vorlesungsbesuch
Ich komme auf 0,8. Du auch?

28.07.2019, 17:53

klauss

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RE: Wetter und Vorlesungsbesuch
Jawoll - und gleichermaßen bei der Probe auf $\begin{eqnarray*} P(\overline{D})=0,2 \end{eqnarray*}$ .

28.07.2019, 18:08

AnnaM195

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RE: Wetter und Vorlesungsbesuch
Vielen Dank smile

Es gäbe noch eine 2. Aufgabenstellung:
Wie groß ist dieWahrscheinlichkeit, dass sonnigesWetter ist, wenn die Lehramtsstudentin
anwesend ist?
Es ist also gesucht: $\begin{eqnarray*} P(B|D) \end{eqnarray*}$
Das wäre doch dann: $\begin{eqnarray*} P(D|B) P(B)\setminus P(D) \end{eqnarray*}$ oder?

28.07.2019, 18:33

klauss

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RE: Wetter und Vorlesungsbesuch
Ja, über $\begin{eqnarray*} P(B|D)=\frac{P(D\cap B)}{P(D)}= \frac{P(B\cap D)}{P(D)} \end{eqnarray*}$

28.07.2019, 18:48

AnnaM195

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RE: Wetter und Vorlesungsbesuch
Alles klar smile

Ich hätte noch eine anschauliche Frage zu folgender Aufgabe:
In einer Telefonvermittlung werde die Anzahl der Telefonanrufe pro Minute als
poisson-verteilt angenommen. Im Mittel gehen 5 Anrufe je Minute ein. Es können maximal 10
Verbindungen je Minute hergestellt werden.
Die Frage ist: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Anrufe irgendwann innerhalb
einer Stunde die Kapazität übersteigt?

In dieser Teilaufgabe verwendet man die Binomialverteilung. Wie kann man sich das klar machen. Wegen n=60 ist die Binomialverteilung eine gute Approximation der Poisson-Verteilung. Aber wie überlegt man sich das am Beispiel?

28.07.2019, 20:12

klauss

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RE: Wetter und Vorlesungsbesuch
Ich habe zwar mit der Poissonverteilung relativ selten zu tun, könnte mir aber vorstellen, dass folgender Gedanke maßgebend ist:
Wenn die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ der pro Minute eingehenden Anrufe poissonverteilt mit dem Parameter $\begin{eqnarray*} \mu=5 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist (nach Tabelle) die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Minute die Kapazität überschritten wird
$\begin{eqnarray*} P_{P}(X>10)=1-P_{P}(X\leq 10)=1-0,98630=0,0137 \end{eqnarray*}$
Betrachtet man nun 60 aufeinanderfolgende Minuten, dann ist die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ für die Anzahl der Minuten mit Kapazitätsüberschreitung binomialverteilt mit $\begin{eqnarray*} n=60 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} p=0,0137 \end{eqnarray*}$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stunde eine Kapazitätsüberschreitung eintritt, ist dann
$\begin{eqnarray*} P_{B}(Y\geq 1)=1-P_{B}(Y=0)=1-(1-0,0137)^{60} \end{eqnarray*}$
Ich vermute also, dass nicht die Binomialverteilung als Approximation der Poissonverteilung verwendet wird (dürfte wohl meistens umgekehrt geschehen).

28.07.2019, 21:41

AnnaM195

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RE: Wetter und Vorlesungsbesuch
Danke für deine Antwort. Ich habe es aus Versehen genau falsch herum gesagt unglücklich

Ich frage mich, warum man also in der Aufgabenstellung die Binomialverteilung nimmt. Kann man vllt einfach davon ausgehen, dass in jeder Minute die Wahrscheinlichkeit konstant ist. Dann ist das einfach ein Treffer bzw. Nichttreffer Experiment, dass n=60 mal durchgeführt wird.

29.07.2019, 09:50

klauss

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RE: Wetter und Vorlesungsbesuch
Ich sehe das hier gar nicht als Approximation, sondern als ein (vereinfachtes) Modell für eine echte Bernoullikette, bei der die Einzelwahrscheinlichkeit des untersuchten Ereignisses sich wiederum aus einer Poissonverteilung ergibt. Vereinfacht wegen der Einteilung der Stunde in feste Minutenabschnitte.
Nehmen wir an, von 23:00 bis 23:45 geht gar kein Anruf ein, von 23:46 bis 24:00 6 Anrufe, von 24:01 bis 24:30 6 Anrufe und von 24:31 bis 25:00 wieder kein Anruf, dann haben wir jeweils nur 6 Anrufe pro Zeitminute, aber faktisch 12 Anrufe innerhalb von 45 Sekunden, die auch nicht durchgestellt werden können. Es besteht der Verdacht, dass diese Konstellation durch das Modell nicht berücksichtigt wird. Ich kann nur annehmen, dass eine Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Kapazitätsüberschreitung über „fließende“ Minutenabschnitte mittels stetigem Modell durch Integration erfolgen müßte, möchte mich aber dazu nicht weiter äußern.

29.07.2019, 10:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von klauss
Es besteht der Verdacht, dass diese Konstellation durch das Modell nicht berücksichtigt wird.

Es ist mehr als nur der Verdacht, deine geschilderte Situation ist ja ein klares überzeugendes Gegenbeispiel.

Dieses Problem lässt sich auch nicht so ohne weiteres lösen: Berücksichtigt man nicht nur die 60 festen 1-Minuten-Abschnitte, sondern "fließende" Minuten-Fenster über die Stunde hinweg, dann hat man keine Unabhängigkeit mehr für nahe beieinander liegende solche Fenster, was natürlich die quantitative Betrachtung ungeheuer erschwert. Ich würde mich schon dazu äußern, wenn ich nur eine gute Idee hätte, dieses Problem theoretisch zu lösen.

Was natürlich immer geht, wäre eine Simulation. Mit der kann man dann in etwa einschätzen, welche "Verzerrung" die vereinfachte Betrachtung gegenüber dieser vollständigen Betrachtung mit gleitenden Fenstern mit sich bringt.

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