Jordannormalform

28.07.2019, 23:49	Einstein98	Auf diesen Beitrag antworten »
Jordannormalform Ich weiß nicht wie ich bei folgender Aufgabe ansetzen soll: A habe die JNF $\begin{eqnarray} J = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie die JNF von $\begin{eqnarray} A^{-1} + 2 I_3 \end{eqnarray}$ und von $\begin{eqnarray} A^2 \end{eqnarray}$ Muss ich hier auf die "Ausgangsmatrix" zurückschließen oder geht es hier auch direkt? Gebt mir bitte, wenn möglich gleich "größere" Tipps. Die Klausur steht bald an. Mfg Einstein98
29.07.2019, 14:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal ist ja $\begin{eqnarray} A = \operatorname{diag}\left(J_1,J_2\right) \end{eqnarray}$ mit den Jordan-Blöcken $\begin{eqnarray} J_1,J_2 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} J_2 = -1 \end{eqnarray}$ hier als 1x1-Matrix einfach eine Zahl ist. Dann ist auch $\begin{eqnarray} A^n = \operatorname{diag}\left(J_1^n,J_2^n\right) = \operatorname{diag}\left(J_1^n,(-1)^n\right) \end{eqnarray}$ klar, und über $\begin{eqnarray} J_1=3I_2+N \end{eqnarray}$ mit der nilpotenten Matrix $\begin{eqnarray} N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} J_1^n = (3I_2)^n + n(3I_2)^{n-1}N = 3^nI_2+n3^{n-1}N \end{eqnarray}$ . Letzteres gilt auch für negative $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , wie man durch Kontrollrechnung überprüfen kann. Aus den so erreichten Darstellungen der Matrizen $\begin{eqnarray} A^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ (und damit auch mittelbar die von $\begin{eqnarray} A^{-1}+2I_3 \end{eqnarray}$ ) sollte die jeweilige JNF ablesbar sein.
29.07.2019, 17:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da war ich eben etwas oberflächlich: Es ist natürlich nur $\begin{eqnarray} J = \operatorname{diag}\left(J_1,J_2\right) \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Zusammen mit der Transformationsmatrix $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ und der Darstellung $\begin{eqnarray} A= SJS^{-1} \end{eqnarray}$ haben wir dann aber $\begin{eqnarray} A^n = SJ^nS^{-1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} J^n = \operatorname{diag}\left(J_1^n,J_2^n\right) \end{eqnarray}$ , und damit die Ähnlichkeit der Matrizen $\begin{eqnarray} A^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \operatorname{diag}\left(J_1^n,J_2^n\right) \end{eqnarray}$ . Auch $\begin{eqnarray} A^{-1}+2I_3=S\left(J^{-1}+2I_3\right)S^{-1} \end{eqnarray}$ ist in dem Zusammenhang zu beachten. Danke an KeinGastMehr für den Hinweis auf diese Nachlässigkeit. Sowas kann gern auch im Thread geschehen - ich hab kein Problem damit, öffentlich auf Fehler hingewiesen zu werden.

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