Erwartungswert

29.07.2019, 17:51

Andre23

Erwartungswert

Hallo,
ich habe zwei Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_1,X_2 \end{eqnarray*}$ , die die Augenzahl eines Würfels beschreiben. Y soll deren Summe sein.
Ich will nun folgendes berechnen: $\begin{eqnarray*} E(X_1| Y=9) \end{eqnarray*}$
Es ergeben sich folgende Möglichkeiten: $\begin{eqnarray*} A:=\{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)\} \end{eqnarray*}$

Dann gilt nach Def: $\begin{eqnarray*} \int_A E(X_1| Y=9) dP= E(X_1| Y=9) P(A) \end{eqnarray*}$
Das müsste doch gelten, da $\begin{eqnarray*} E(X_1| Y=9) \end{eqnarray*}$ auf A konstant ist oder?

Wie evaluiere ich dann folgendes Integral: $\begin{eqnarray*} \int_A X_1 dP \end{eqnarray*}$

29.07.2019, 18:12

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ist bei dir ein diskretes Maß, und zwar die Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{ (1,1), (1,2),\ldots, (6,5), (6,6) \right\} \end{eqnarray*}$ .

Dementsprechend ist $\begin{eqnarray*} \int\limits_A X_1~\dd P = 3\cdot P(\{(3,6)\}) + 4\cdot P(\{(4,5)\}) + 5\cdot P(\{(5,4)\}) + 6\cdot P(\{(6,3)\}) = \frac{3+4+5+6}{36} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

29.07.2019, 18:51

Andre23

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Dankeschön.
Das sich die bedingte Erwartungswert aus dem Integral ziehen darf, liegt daran das dieser konstant ist.
Damit wird doch die bedingte Erwartung als Zufallsgröße auf einer bestimmten Menge, in meinem Fall A, konstant und stellt somit den bedingten Erwartungswert da oder?

29.07.2019, 19:27

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Im vorliegenden Fall kann man auch folgende Abkürzung nehmen: Da $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ symmetrisch bzgl. $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ definiert ist, gilt $\begin{eqnarray*} E(X_1\mid Y) = E(X_2\mid Y) \end{eqnarray*}$ . Zusammen mit $\begin{eqnarray*} E(X_1\mid Y) + E(X_2\mid Y) = E(X_1+X_2\mid Y) = E(Y\mid Y) = Y \end{eqnarray*}$ folgt daraus $\begin{eqnarray*} E(X_1\mid Y) = \frac{Y}{2} \end{eqnarray*}$ , speziell also $\begin{eqnarray*} E(X_1\mid Y=9) = \frac{9}{2} \end{eqnarray*}$ .

29.07.2019, 19:50

Andre23

Auf diesen Beitrag antworten »

Auch ein guter Weg. Ich habe einfach nach Defintion eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}= \int_A X_1 dP = \int_A E[X_1|Y=9] dP = E[X_1|Y=9] P(A) = E[X_1|Y=9] \frac{4}{36} \end{eqnarray*}$

Meine Frage war, ob dann auf der Menge A die bedingte Erwartung sozusagen zum bedingten Erwartungswert wird.

29.07.2019, 22:21

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , Ereignis $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und die daraus gebildete Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}:=\left\{\emptyset,A,A^c,\Omega\right\} \end{eqnarray*}$ hängen via

$\begin{eqnarray*} E\left[X \mid A\right] = E\left[X \mid \mathcal{A}\right](\omega) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \omega\in A \end{eqnarray*}$ bzw. damit verbunden auch
$\begin{eqnarray*} E\left[X \mid A^c\right] = E\left[X \mid \mathcal{A}\right](\omega) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \omega\in A^c \end{eqnarray*}$

miteinander zusammen - falls das deine Frage ist.

30.07.2019, 00:27

Andre23

Auf diesen Beitrag antworten »

Die bedingte Erwartung ist doch eine Zufallsgröße. Der bedingte Erwartungswert dagegen ist fest.
Ich würde gerne den Unterschied an diesem Beispiel begreifen.
Kann ich nicht sagen dass auf der Menge A due bedingte Erwartung dem bedingten Erwartungswert entspricht?

30.07.2019, 08:08

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Lies die Antwort statt die Frage immer wieder neu zu stellen: Gerade eben habe ich diesen Zusammenhang

Zitat:

Original von Andre23
Kann ich nicht sagen dass auf der Menge A due bedingte Erwartung dem bedingten Erwartungswert entspricht?

doch bestätigt, warum fragst du dann nochmal ohne auf meine Antwort im geringsten einzugehen? Allerdings ist bei der bedingten Erwartung eben die Bedingung kein Ereignis, sondern eine Sigma-Algebra. Bzw. wenn stattdessen dort ein oder mehrere Zufallsgrößen angegeben sind, dann ist damit die von diesen Zufallsgrößen erzeugte Sigma-Algebra gemeint.

Man kann es noch allgemeiner fassen: Ist $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ eine Sigma-Algebra, in der Ereignis $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ "atomar" ist (das bedeutet $\begin{eqnarray*} A\in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ und zusätzlich, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ keine nichtleeren echten Teilmengen von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthält), dann gilt ebenfalls

$\begin{eqnarray*} E\left[X \mid A\right] = E\left[X \mid \mathcal{A}\right](\omega) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \omega\in A \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Erwartungswert

Verwandte Themen