Poisson-Prozess

30.07.2019, 18:29

Ludwig500

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Poisson-Prozess

Guten Abend,
ich beschäftige mich gerade mit dem Poisson-Prozess.
Dabei tauch folgende Eigenschaft auf:
$\begin{eqnarray*} P(N(h)=1) = \lambda \cdot h + o(h) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist die Intensität. N(h) ist die Anzahl der Ereignisse die zum Zeitpunkt t eintreffen.
Was soll das genau bedeuten?

30.07.2019, 19:23

HAL 9000

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Die Landau-Symbole $\begin{eqnarray*} O(\ldots) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} o(\ldots) \end{eqnarray*}$ sind dir vertraut? Ich geh mal davon aus.

Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} N(h) \end{eqnarray*}$ ist Poissonverteilt mit Parameter $\begin{eqnarray*} \mu=\lambda h \end{eqnarray*}$ , daher ist

$\begin{eqnarray*} P(N(h)=1) = \frac{\mu^1}{1!}e^{-\mu} = \lambda h e^{-\lambda h} \end{eqnarray*}$

Die Exponentialfunktion in eine Reihe entwickelt ergibt sich damit nun mal $\begin{eqnarray*} e^{-\lambda h} = 1-\lambda h + O(h^2) = 1 + O(h) \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} P(N(h)=1) = \lambda h + O(h^2) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ .

30.07.2019, 19:33

Ludwig500

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Achso. Analytisch habe ich mir das gar nicht so überlegt.
Ich frage mich, was das anschaulich bedeuten soll.
Heißt das, dass die Wahrscheinlichkeit genau 1 Ereignis in einem Intervall von 0 bis h für großes h sehr groß ist?

30.07.2019, 20:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ludwig500
Heißt das, dass die Wahrscheinlichkeit genau 1 Ereignis in einem Intervall von 0 bis h für großes h sehr groß ist?

Nochmal: Diese Näherung ist für $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ gedacht, also definitiv NICHT für große $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ . unglücklich

unglücklich

30.07.2019, 20:29

Ludwig500

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Dann heißt das wohl, dass kleine Intervalle ein Ergeignis enthalten eher unwahrscheinlich ist? verwirrt

verwirrt

30.07.2019, 20:31

Ludwig500

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Sorry das war kein Satz. Kleine Intervalle enthalten also egtl nicht 1 Ereignis?

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31.07.2019, 09:02

HAL 9000

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Naja, das ganze teilt sich gemäß Poisson-Verteilung für $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ so auf:

$\begin{eqnarray*} P(N(h)=0) = 1-\lambda h + O(h^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(N(h)=1) = \lambda h + O(h^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(N(h)\geq 2) = \frac{1}{2}\lambda^2 h^2 + O(h^3) \end{eqnarray*}$

D.h. für kleine $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} P(N(h)\geq 2) \end{eqnarray*}$ vernachlässigbar klein, selbst gegenüber dem ebenfalls gegen 0 strebenden $\begin{eqnarray*} P(N(h)=1) \end{eqnarray*}$ , letzteres verhält sich für $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ aber immerhin linear in $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß jetzt nicht, wozu die Betrachtung oben dient - mutmaßlich für irgendwelche Zustandsübergänge für infitesimal kleine $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ , wo aber nur die Übergänge 0 und 1 Berücksichtigung finden.

31.07.2019, 10:03

Ludwig500

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Zitat:

Original von HAL 9000
Naja, das ganze teilt sich gemäß Poisson-Verteilung für $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ so auf:

1.)
$\begin{eqnarray*} P(N(h)=1) = \lambda h + O(h^2) \end{eqnarray*}$
2.)
$\begin{eqnarray*} P(N(h)\geq 2) = \frac{1}{2}\lambda^2 h^2 + O(h^3) \end{eqnarray*}$

.

2. bedeutet also, dass das Auftreten von 2 Ereginissen gleichzeitig eher unwahrscheinlich ist.

1.) bedeutet dann, je kleiner das Intervall, desto unwahrscheinlicher ist es ein Ereigniss dort zu beobachten?

31.07.2019, 10:20

HAL 9000

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Ja klar: Umso kleiner das Zeitintervall, desto unwahrscheinlicher, dass da ein Poisson-Ereignis stattfindet.

31.07.2019, 10:39

Ludwig500

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Alles klar Freude

Freude

Es gibt folgenden Satz: $\begin{eqnarray*} N(t), t \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist Poisson-Prozess mit Intensität $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ Dann gilt $\begin{eqnarray*} P(N(t)=k)=e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Der Beweis fängt mit dem einfachen Fall an: $\begin{eqnarray*} P(N(t+h)=0) \end{eqnarray*}$
Wenn man das ausrechnet und die Eigenschaft verwendet, dass für kleine h die Wahrscheinlichkeit kein Ereignis zu beobachten gegen 1 geht, erhält man eine DGL, die das gewünschte liefert.
Wenn man also anfängt: $\begin{eqnarray*} P(N(t+h)=0)\underbrace{=}_{1}P(N(t+h)=0, N(t)=0) = P(N(t+h)=0|N(t)=0) \cdot P(N(t)=0) \underbrace{=}_{2} (1- \lambda h + o(h)) \cdot P(N(t)=0) \end{eqnarray*}$
1 gilt, da die Anzahl der Ereignisse 0 nach t Zeit 0 ist, wenn sie für mehr als t Zeit schon 0 ist.

2 gilt, da die Anzahl der Ereignisse nur von der Länge des Intervalls abhängt. Hätte ich das richtig verstanden?

31.07.2019, 12:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ludwig500
Es gibt folgenden Satz: $\begin{eqnarray*} N(t), t \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist Poisson-Prozess mit Intensität $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ Dann gilt $\begin{eqnarray*} P(N(t)=k)=e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Was du da nun also erst beweisen willst ist, dass $\begin{eqnarray*} N(t) \end{eqnarray*}$ Poisson-verteilt ist mit Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda t \end{eqnarray*}$ . Ich war oben davon ausgegangen (und hatte es benutzt), dass du das bereits verwenden kannst - falls nicht, dann führt meine obige Argumentation natürlich zu einem Ringschluss ("Katze beißt sich in den Schwanz"). Welche Eigenschaften des Poisson-Prozess hattest du denn zur Verfügung? verwirrt

verwirrt

31.07.2019, 12:24

Ludwig500

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Die Eigenschaften waren:
1. $\begin{eqnarray*} N(0)=0 \end{eqnarray*}$
2. Ereignisse in disjunkten Intervallen sind unabhängig
3. Die Verteilung der Anzahl der Ereignisse hängt nur von der Länge des Intervalls ab
4. $\begin{eqnarray*} P(N(h)=1)= \lambda h + o(h) \end{eqnarray*}$
5. $\begin{eqnarray*} P(N(h) \geq 2)= o(h) \end{eqnarray*}$

Wäre dann im Beweis 1 und 2 richtig begründet?

31.07.2019, 13:35

HAL 9000

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Die Begründung der ersten Gleichheit ist Ok.

Für die zweite Gleichheit bedarf es m.E. noch folgender Zwischenschritte:

$\begin{eqnarray*} P(N(t+h)=0 \mid N(t)=0) = P(N(t+h)-N(t)=0 \mid N(t)=0) \stackrel{2.}{=} P(N(t+h)-N(t)=0) \stackrel{3.}{=} P(N(h)=0) \end{eqnarray*}$

Dabei meine ich mit 2./3. die Eigenschaften aus deinem letzten Beitrag (nicht die Nummern aus deinem vorherigen Beítrag).

Damit bekommst du eine DGL für $\begin{eqnarray*} g(t):=P(N(t)=0) \end{eqnarray*}$ , die sich zu $\begin{eqnarray*} g(t)=e^{-\lambda t} \end{eqnarray*}$ lösen lässt.

Ich hätte allerdings gleich mit $\begin{eqnarray*} P(N(t+h)=k) = \sum_{j=0}^k P(N(t+h)=k,N(t)=k-j) \end{eqnarray*}$ mit allgemeinem $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ losgelegt, was für $\begin{eqnarray*} g_k(t):=P(N(t)=k) \end{eqnarray*}$ in die DGL $\begin{eqnarray*} g_k'(t) = -\lambda g_k(t) + \lambda g_{k-1}(t) \end{eqnarray*}$ mündet (für k=0 fällt der letzte Summand weg).

31.07.2019, 14:53

Ludwig500

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Zitat:

Original von HAL 9000

$\begin{eqnarray*} P(N(t+h)=0 \mid N(t)=0) = P(N(t+h)-N(t)=0 \mid N(t)=0) \stackrel{2.}{=} P(N(t+h)-N(t)=0) \stackrel{3.}{=} P(N(h)=0) \end{eqnarray*}$

.

Ich verstehe nicht, warum 2. gilt. Vllt nehme ich die falsche Eigenschaft von deinen. Die 2. war doch $\begin{eqnarray*} P(N(h)=1)= \lambda h + o(h^2) \end{eqnarray*}$ ?

31.07.2019, 16:18

HAL 9000

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Sieht so aus, als hast du nicht gründlich genug gelesen:

Zitat:

Original von HAL 9000
Dabei meine ich mit 2./3. die Eigenschaften aus deinem letzten Beitrag (nicht die Nummern aus deinem vorherigen Beítrag).

Zitat:

Original von Ludwig500
2. Ereignisse in disjunkten Intervallen sind unabhängig

$\begin{eqnarray*} N(t+h)-N(t) \end{eqnarray*}$ zählt die Ereignisse im Intervall $\begin{eqnarray*} (t,t+h] \end{eqnarray*}$ , wähend $\begin{eqnarray*} N(t) \end{eqnarray*}$ die im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,t] \end{eqnarray*}$ zählt. Diese beiden Intervalle sind disjunkt.

Man spricht in dem Zusammenhang direkt den Prozess $\begin{eqnarray*} (N(t)) \end{eqnarray*}$ betreffend auch eher von "unabhängigen Zuwächsen".

31.07.2019, 17:09

Ludwig500

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Tut mir leid. Es stand ja alles da,wie du sagst.
Danke nochmal für deine Erklärung.
Du hast schon mit dem allgemeinen Fall angefangen.
Man startet mit $\begin{eqnarray*} P(N(t+h)=n) \end{eqnarray*}$
Dabei haben wir dann die Wkt wie folgt geschrieben: $\begin{eqnarray*} P(N(t+h)=n \cap ( \{N(t)=n\} \cup \{N(t)=n-1\} \cup \{ N(t) \leq n-2 \}) \end{eqnarray*}$

Stimmt das überhaupt so verwirrt

verwirrt

31.07.2019, 17:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ludwig500
Dabei haben wir dann die Wkt wie folgt geschrieben: $\begin{eqnarray*} P(N(t+h)=n \cap ( \{N(t)=n\} \cup \{N(t)=n-1\} \cup \{ N(t) \leq n-2 \}) \end{eqnarray*}$

Ja, so kann man das machen. Wichtig ist eine vollständige Erfassung aller möglichen Werte für $\begin{eqnarray*} N(t) \end{eqnarray*}$ . Du hast jetzt alle Werte $\begin{eqnarray*} N(t)\leq n-2 \end{eqnarray*}$ zu einem Fall zusammengefasst, während ich die oben noch einzeln betrachtet hatte - deine Variante ist in dem Sinne besser weil kürzer. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.07.2019, 18:12

Ludwig500

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Wie schreibt man das aber weiter?
Kann man das irgendwie disjunkt aufteilen?

31.07.2019, 18:51

HAL 9000

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Naja, das ist doch schon eine disjunkte Aufteilung:

$\begin{eqnarray*} P(N(t+h)=n) &=& P(N(t+h)=n,N(t)=n) + P(N(t+h)=n,N(t)=n-1) + P(N(t+h)=n,N(t)\leq n-2)\\ &=& P(N(t+h)=n\mid N(t)=n)P(N(t)=n) + P(N(t+h)=n\mid N(t)=n-1)P(N(t)=n-1) + P(N(t+h)=n\mid N(t)\leq n-2)P(N(t)\leq n-2) \end{eqnarray*}$

01.08.2019, 09:09

Ludwig500

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Dann kann doch wieder umformen, wie vorher. Ich betrachte nur den 1. Summanden:
$\begin{eqnarray*} P(N(t+h)=n|N(t)=n) \cdot P(N(t)=n) = P(N(t+h) - N(t)=0|N(t)=0) \cdot P(N(t)=n) = P(N(t+h)-N(t)=0) \cdot P(N(t)=n) =P(N(h)=0) \cdot P(N(t)=n) \end{eqnarray*}$

01.08.2019, 11:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ludwig500
Ich betrachte nur den 1. Summanden:

Großer Fehler, der zweite Summand ist hier nicht vernachlässigbar! Den dritten kann man zunächst einschachteln gemäß

$\begin{eqnarray*} 0\leq P(N(t+h)=n\mid N(t)\leq n-2)P(N(t)\leq n-2)\leq P(N(t+h)-N(t)=n-N(t)\mid N(t)\leq n-2) \leq P(N(t+h)-N(t)\geq 2\mid N(t)\leq n-2) = P(N(t+h)-N(t)\geq 2) = P(N(h)\geq 2) = o(h) \end{eqnarray*}$ ,

also auch insgesamt $\begin{eqnarray*} o(h) \end{eqnarray*}$ für diesen Summand. Für den Gesamtterm ergibt das (mit ähnlichen Argumentationen wie oben, ich führe nicht jeden Detailschritt aus) mit obiger Abkürzung $\begin{eqnarray*} g_n(t):=P(N(t)=n) \end{eqnarray*}$ die Gleichung

$\begin{eqnarray*} g_n(t+h) &=& P(N(h)=0)g_n(t) + P(N(h)=1)g_{n-1}(t) + o(h) = (1-\lambda h+o(h))g_n(t) + (\lambda h+o(h))g_{n-1}(t) + o(h) \end{eqnarray*}$

Daraus den Differenzenquotient gebildet (d.h. $\begin{eqnarray*} g_n(t) \end{eqnarray*}$ subtrahiert und durch $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ geteilt):

$\begin{eqnarray*} \frac{g_n(t+h)-g_n(t)}{h} &=& -\lambda g_n(t) + \lambda g_{n-1}(t) + o(1) \end{eqnarray*}$

Was im Grenzübergang $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ dann zur Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} g_n'(t) &=& -\lambda g_n(t) + \lambda g_{n-1}(t) \end{eqnarray*}$

führt. Dieses System löst man dann sukzessive: Erst $\begin{eqnarray*} g_0(t) \end{eqnarray*}$ (da fällt nämlich der letzte Term weg, es geht also nur um $\begin{eqnarray*} g_0'(t) &=& -\lambda g_0(t) \end{eqnarray*}$ ), darauf aufbauend $\begin{eqnarray*} g_1(t) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g_2(t) \end{eqnarray*}$ usw.

03.08.2019, 09:13

Ludwig500

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Hallo HAL,
ich musste mir die Sache nochmals durch den Kopf gehen lassen. Dabei ist mir folgendes nicht klar.

Zitat:

Original von HAL 9000

$\begin{eqnarray*} 0\leq P(N(t+h)=n\mid N(t)\leq n-2)P(N(t)\leq n-2)\leq P(N(t+h)-N(t)=n-N(t)\mid N(t)\leq n-2) \leq P(N(t+h)-N(t)\geq 2\mid N(t)\leq n-2) \underbrace{=}_{1} P(N(t+h)-N(t)\geq 2) = P(N(h)\geq 2) = o(h) \end{eqnarray*}$ ,

Warum fällt bei 1 das $\begin{eqnarray*} N(t)\leq n-2 \end{eqnarray*}$ weg?

03.08.2019, 12:45

HAL 9000

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Hatten wir doch schon mal:

Zitat:

Original von Ludwig500
2. Ereignisse in disjunkten Intervallen sind unabhängig

Oder anders genannt: Unabhängige Zuwächse - genau das wird hier wieder genutzt.

Ich hätte viel eher vermutet, dass du den vorherigen Schritt

$\begin{eqnarray*} P(N(t+h)-N(t)=n-N(t)\mid N(t)\leq n-2) \leq P(N(t+h)-N(t)\geq 2\mid N(t)\leq n-2) \end{eqnarray*}$

hinterfragst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.08.2019, 14:23

Ludwig500

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Wenn ich nur $\begin{eqnarray*} N(t+h)-N(t)=n-N(t) \end{eqnarray*}$ betrachte. Dann ist doch wegen $\begin{eqnarray*} N(t) \leq n-2 \end{eqnarray*}$ . Damit gilt $\begin{eqnarray*} N(t+h)-N(t)\geq n-(n-2)= 2 \end{eqnarray*}$
Das ist doch dann eine größe Menge. Wegen der Monotonie des W-Maßes folgt die Behauptung?

03.08.2019, 14:44

HAL 9000

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Richtig.

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