Was macht der Autor hier?

30.07.2019, 23:00

ayrix

Was macht der Autor hier?

Hallo alle Zusammen,

seit Tagen versuche ich dahinter zu kommen wie der Autor folgenden Ausdruck differentiert.... (siehe foto)

Ich verstehe nicht wie von der unteren Gleichung,

$\begin{eqnarray*} ln(p)+ln(v)=ln(R)+ln(T) \end{eqnarray*}$

durch Ableiten nach den Variablen p, v, R=const und T auf die untere Gleichung kommt

$\begin{eqnarray*} \frac{ dp }{ p }+\frac{ dv }{ v } = \frac{ dT }{ T } \end{eqnarray*}$

Wenn ich zum Beispiel sage dass p, v und T von der Zeit abhängt, könnte ich schreiben:

$\begin{eqnarray*} ln(p(t))+ln(v(t) = ln(R) + ln(T(t)) \end{eqnarray*}$

Kettenregel:

<=> $\begin{eqnarray*} \frac{ dp }{ dt }\frac{ 1 }{ p }+\frac{ dv }{ dt }\frac{ 1 }{ v } = \frac{ dT }{ dt }\frac{ 1 }{ T } \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} \frac{ dp }{ p }+\frac{ dv }{ v } = \frac{ dT }{ T } \end{eqnarray*}$

nur hätte ich ja in diesem Fall, Funktionen nach der Variablen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abgeleitet oder?

Freue mich auf jede zielführende Antwort

Vielen Dank

30.07.2019, 23:59

Hausmann

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RE: Was zum Teufel macht der Autor hier?
$\begin{eqnarray*} c(p,V,T):=\frac{pV}{T}=const \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dc=\frac{\partial c}{\partial p}dp+\frac{\partial c}{\partial V}dV+\frac{\partial c}{\partial T}dT=0\rightarrow \frac{dp}{p}+\frac{dV}{V}=\frac{dT}{T} \end{eqnarray*}$

31.07.2019, 06:46

ayrix

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RE: Was zum Teufel macht der Autor hier?
Vielen Dank für die Antwort Hausmann aber deine Lösung zeigt mir nicht wie ich von der logarithmischen Gleichung auf die letzte Gleichung komme

31.07.2019, 09:11

Hausmann

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RE: Was zum Teufel macht der Autor hier?
p, V und T bilden eine Satz von Zustandsgrößen für diesen elementaren Fall eines Idealen Gases und darauf beruht die Herleitung (vollständiges Differential). Wenn Du aus Langeweile noch Interesse an den Logarithmen hast (die Gedankengänge Deines Vorturners sind für den Sachverhalt eigentlich irrelevant), so kommst Du durch Integration der Summanden darauf $\begin{eqnarray*} \int\frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$ , jeweils Zustand 1 -> Zustand 2.

31.07.2019, 09:56

Huggy

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RE: Was zum Teufel macht der Autor hier?
@ayrix

Das vollständige oder totale Differential einer Funktion $\begin{eqnarray*} f(x_1, ..., x_n) \end{eqnarray*}$ ist definiert als

$\begin{eqnarray*} df=\sum_{i=1}^n \frac {\partial f}{\partial x_i}dx_i \end{eqnarray*}$

Siehe z. B. https://de.wikipedia.org/wiki/Totales_Differential

Das hat Hausmann

Zitat:

Original von Hausmann
$\begin{eqnarray*} c(p,V,T):=\frac{pV}{T}=const \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dc=\frac{\partial c}{\partial p}dp+\frac{\partial c}{\partial V}dV+\frac{\partial c}{\partial T}dT=0\rightarrow \frac{dp}{p}+\frac{dV}{V}=\frac{dT}{T} \end{eqnarray*}$

für die Funktion $\begin{eqnarray*} c(p,V,T) \end{eqnarray*}$ gemacht. Etwas einfacher kommt man zu demselben Ergebnis, wenn man vorher logarithmiert, wie es der Autor gemacht hat.

01.08.2019, 10:30

Hausmann

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RE: Was zum Teufel macht der Autor hier?
Mir ist oben eine Schußlichkeit passiert:
Bei $\begin{eqnarray*} \upsilon \end{eqnarray*}$ handelt es sich um das molare Volumen - was auf die Rechnung jedoch keinen Einfluß hat.
Ansonsten bin ich zu einfach / nicht einfach anderer Ansicht, was aber hier weniger hinpaßt.

01.08.2019, 10:51

Huggy

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RE: Was zum Teufel macht der Autor hier?

Zitat:

Original von Hausmann
Ansonsten bin ich zu einfach / nicht einfach anderer Ansicht, was aber hier weniger hinpaßt.

Da Einfachheit für gewöhnlich Ansichtssache ist, kann man da durchaus unterschiedlicher Meinung sein.

01.08.2019, 11:18

Hausmann

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RE: Was zum Teufel macht der Autor hier?
OK, dann kurz / offtopic dazu

Der angedeutete Umgang mit Zustandsvariablen und entsprechenden Differentialen ist in der Thermodynamik routinemäßiges Vorgehen.
Wer dagegen trickreich logarithmiert, hat das Ergebnis quasi schon im Hinterkopf (abgesehen davon, daß sowas physikalischer Nonsens
ist ln(p) und anderes). Das mag Ingenieuren mit Formelsammlungen und angepaßten Größengleichungen "einfach" erscheinen - bitte.

01.08.2019, 22:48

ayrix

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RE: Was zum Teufel macht der Autor hier?
Hallo Huggy / Hausmann,

kann ich das Ganze also folgendermaßen sehen...

$\begin{eqnarray*} ln(p) + ln(v) = ln(R) + ln(T) \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} f(v,p,T) = ln(R) = ln(T) + ln(p) + ln(v) \end{eqnarray*}$

jetzt das totale Differential angewendet:

$\begin{eqnarray*} df = \frac{1}{T}dT + \frac{1}{p}dp + \frac{1}{v}dv \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt?

02.08.2019, 08:33

Huggy

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RE: Was zum Teufel macht der Autor hier?

Zitat:

Original von ayrix
kann ich das Ganze also folgendermaßen sehen...

$\begin{eqnarray*} ln(p) + ln(v) = ln(R) + ln(T) \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} f(v,p,T) = ln(R) = ln(T) + ln(p) + ln(v) \end{eqnarray*}$

Ja, fast. In der zweiten Gleichung muss $\begin{eqnarray*} \ln (T) \end{eqnarray*}$ aber ein Minuszeichen bekommen. Man muss die erste Gleichung auch nicht unbedingt umsortieren. Man kann auch setzen

$\begin{eqnarray*} f(p,v,T)= \ln (p)+ \ln (v) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(p,v,T)=\ln (R) + \ln (T) \end{eqnarray*}$

Man hat dann $\begin{eqnarray*} f=g \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} df=dg \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} df=\frac{1}{p}dp + \frac{1}{v}dv \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dg= \frac{1}{T}dT \end{eqnarray*}$

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