Häufungspunkte einer Menge

31.07.2019, 09:52	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Häufungspunkte einer Menge Guten Morgen, ich versuche mich momentan an folgender Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} (a_{n})_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray}$ eine Folge in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M:= \left\{a_{n}\|n \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray}$ . Weiter sei $\begin{eqnarray} l \in \mathbb N \end{eqnarray}$ fest und $\begin{eqnarray} (a_{n_{k}^{1}})_{k \in \mathbb N }, (a_{n_{k}^{2}})_{k \in \mathbb N }, ..., (a_{n_{k}^{l}})_{k \in \mathbb N } \end{eqnarray}$ konvergente Teilfolgen von $\begin{eqnarray} (a_{n})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \bigcup_{i=1}^{l}\left\{n_{k}^{i}\| k \in \mathbb N\right\} = \mathbb N \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} a_{i} = \lim_{k \to \infty } a_{n_{k}^{i}} \end{eqnarray}$ so ist die Menge der Häufungspunkte von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} \left\{ a_{1}, a_{2}, ... , a_{l} \right\} \end{eqnarray}$ . Ich bin wie folgt vorgegangen: Ist $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ , dann existiert eine Teilfolge $\begin{eqnarray} (a_{n_{k}})_{k} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} (a_{n})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty } a_{n_{k}} = a \end{eqnarray}$ . Zeige: Es existiert ein $\begin{eqnarray} i \in \left\{1,...,l\right\} \end{eqnarray}$ s.d. $\begin{eqnarray} (a_{n_{k}^{i}})_{k \in \mathbb N } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a_{n_{k}})_{k} \end{eqnarray}$ eine gemeinsame Teilfolge besitzen. Da $\begin{eqnarray} (a_{n_{k}})_{k} \end{eqnarray}$ eine Folge ist, ist die Menge $\begin{eqnarray} A := \left\{n_{k} \|k \in \mathbb N\right\} \end{eqnarray}$ nicht endlich. Da $\begin{eqnarray} A \subseteq \mathbb N = \bigcup_{i=1}^{l}\left\{n_{k}^{i}\| k \in \mathbb N\right\} \end{eqnarray}$ liegen unendlich viele Element aus $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \left\{n_{k}^{i} \|k \in \mathbb N\right\} \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} i \in \left\{1,...,l\right\} \end{eqnarray}$ . Somit besitzen $\begin{eqnarray} (a_{n_{k}^{i}})_{k \in \mathbb N } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a_{n_{k}})_{k} \end{eqnarray}$ eine gemeinsame Teilfolge. Weiter gilt $\begin{eqnarray} a_{i} = \lim_{k \to \infty } a_{n_{k}^{i}} \end{eqnarray}$ und somit ist $\begin{eqnarray} a_{i} \end{eqnarray}$ auch der Grenzwert dieser gemeinsamen Teilfolge. Inbesondere gilt dann auch $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty } a_{n_{k}} = a = a_{i} \end{eqnarray}$ . Sind meine Überlegungen so korrekt? Ich habe das Gefühl, dass ich es mir beim aufschreiben sehr schwer getan habe. Das lässt sich doch bestimmt viel eleganter begründen . Viele Grüße DerJoker
02.08.2019, 14:02	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, liege ich mit meinen Überlegungen völlig daneben? Oder ist irgendwas unverständlich?
02.08.2019, 15:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine kleine Anmerkung vorab zur Symbolwahl: Irgendwie ungeschickt, dass du die Teilfolgengrenzwerte auch mit $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ bezeichnest, da besteht Verwechslungsgefahr mit den Folgenelementen selbst. Nennen wir sie zur Unterscheidung mal besser $\begin{eqnarray} \alpha_i \end{eqnarray}$ . Die eigentliche Argumentation ist schon ganz in Ordnung. Das Kernargument "es muss ein $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ geben, so dass $\begin{eqnarray} (n_k^i)_{k} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (n_k)_{k} \end{eqnarray}$ unendlich viele Indizes gemeinsam haben" mit der daraus folgenden Grenzwertgleichheit $\begin{eqnarray} a=\alpha_i \end{eqnarray}$ kommt gut raus.
02.08.2019, 15:40	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, dann vielen Dank für deine Anmerkungen .

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