Darstellende Matrix von Polynom

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antigenius42 Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellende Matrix von Polynom
Meine Frage:
Hallo,

ich versuche mich grade an folgender Übungsaufgabe und komme nicht weiter
http://ameno.pw/img/SyQsi.png

Die grundsätzliche Vorgehensweise ist klar:
- Basis wählen (z.b. die Standardbasis `B = {1, x, x^2, x^3, x^4}`
- Bilder der Basisvektoren ermitteln
- Als Linearkombination darstellen

Was mich verwirrt ist die Schreibweise des letzten Summanden `p(0)`. Was genau ist hier gemeint? Einfach `x = 0`?

Viele Grüße

Meine Ideen:
1. Wähle Basis:

`B = {1, x, x^2, x^3, x^4}`

2. Zur Veranschaulichung habe ich mir die Funktion mal ausgeschrieben unter der Annahme, dass `p(0)` einfach bedeutet `x` mit `0` zu substituieren:

`p(t) = t * p(t)' + p(0) = x * (4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d) + d = 4ax^4 + 3bx^3 + 2cx^2 + dx + d`

2. Bilder der Basisvektoren ermitteln:

`p(1) = 4a + 3b + 2c + 2d`
`p(x) = 4ax^4 + 3bx^3 + 2cx^2 + dx + d`
`p(x^2) = 4ax^8 + 3bx^6 + 2cx^4 + dx^2 + d`

Hier kommen mir die hohen Exponenten jetzt schon seltsam vor, weshalb ich einen Fehler vermute.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion bildet Polynome auf Polynome ab. Das p(t) ist dabei das Urbild. Du hast es aber als Abbildung benutzt.

Wäre beispielsweise L(p)=2p, dann wäre L(x^2)=2x^2
 
 
antigenuis42 Auf diesen Beitrag antworten »

Das bedeutet ich kann einfach direkt mit den Polynomen meiner Basis rechnen? Also

`p(1) = 1 * 0 + p(0)`
`p(x) = x * 1 + p(0)`
`p(x^2) =x^2 * x + p(0) = x^3 + p(0)`
...

Aber `p(0)`wäre dann doch demnach immer `0`, oder habe ich einen Denkfehler?
antigenuis42 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe meinen Denkfehler denke ich gefunden. Das `t` zu substituieren war falsch.

Kann mir bitte nochmal jemand bestätigen, dass `p(0) = 0` ist?

Damit komme ich auf folgende Berechnungen:
`p(1) = x * 0 + 0 = 0`
`p(x) = x * 1 + 0 = x`
`p(x^2) = x * 2x + 0 = 2x^2`
`p(x^3) = x * 3x^2 + 0 = 3x^3`
`p(x^4) = x * 4x^3 + 0 = 4x^4`

Dies führt zu folgenden Linearkombinationen:
`0 = 0*1 + 0*x + 0*x^2 + 0*x^3 + 0*x^4`
`x = 0*1 + 1*x + 0*x^2 + 0*x^3 + 0*x^4`
`2x^2 = 0*1 + 0*x + 2*x^2 + 0*x^3 + 0*x^4`
`3x^3 = 0*1 + 0*x + 0*x^2 + 3*x^3 + 0*x^4`
`4x^4 = 0*1 + 0*x + 0*x^2 + 0*x^3 + 4*x^4`

Und schließlich zur darstellenden Matrix:
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 3 0
0 0 0 0 4

Korrekt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Fast richtig, allerdings ist das Bild von 1 gleich t*0+1=1, also muss links oben eine 1 stehen und keine 0.
Du hättest wirklich nicht x statt t schreiben müssen, dadurch werden Polynome nicht schöner.

Zitat:
Original von antigenuis42
Dies führt zu folgenden Linearkombinationen:
`0 = 0*1 + 0*x + 0*x^2 + 0*x^3 + 0*x^4`
`x = 0*1 + 1*x + 0*x^2 + 0*x^3 + 0*x^4`
`2x^2 = 0*1 + 0*x + 2*x^2 + 0*x^3 + 0*x^4`
`3x^3 = 0*1 + 0*x + 0*x^2 + 3*x^3 + 0*x^4`
`4x^4 = 0*1 + 0*x + 0*x^2 + 0*x^3 + 4*x^4`

Das Ding ist überflüssige Schreibarbeit.
antigenius42 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort.

Jetzt bin ich aber doch nochmal verwirrt. Warum ist das p(0) für den ersten Basisvektor 1, aber für alle anderen 0? Ich glaube ich kann nach wie vor nichts anfangen.

Wie genau berechne ich im Allgemeinen p(z) unter einem bestimmten Basisvektor?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Als kleines Kind glaubt man, "ein Ball ist ein Ball", später lernt man, dass ein Ball ein Spielzeug oder ein Sportgerät ist, dass ein Ball rund und bunt ist und man ihn nicht essen kann. Als Erwachsener weiß man, dass jedes Objekt unserer Anschauung oder unseres Denkens viele Eigenschaften hat und Element von vielen verschiedenen Mengen ist. "Ein Polynom ist ein Polynom, ein Vektor ist ein Vektor, eine Funktion ist eine Funktion" erschöpft nicht die gesamte Mathematik.

1. Ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ist ein Element von unendlich velen Polynomringen über Zahlringen und Zahlkörpern, von denen ich hier nur eine kleine Auswahl gegeben habe.
2. Polynomringe über Körpern, z.B. sind Vektorräume über den jeweiligen Körpern, deshalb sind Polynome Elemente von Vektorräumen, also Vektoren. Jeder dieser Vektorräume hat unendlich viele Untervektorräume, z.B. die Polynome höchstens n-ten Grades mit einer natürlichen Zahl n>=0, und fast jeder dieser Vektorräume hat unendlich viele Basen.
3. Der Einsetzungshomomorphismus erlaubt uns, ein Polynom als Polynomfunktion aufzufassen.

Willkommen in der Wunderwelt der Mathematik. Lass dich nicht verwirren, auch wenn nicht alles so einfach ist. Mathematik ist die Kunst, jedes Objekt von mindestens 3 Seiten anzuschauen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
später lernt man, ... dass ein Ball rund und bunt ist und man ihn nicht essen kann.


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Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ein Ball ist ein Spielzeug oder ein Sportgerät oder ein Leckerli oder was auch immer. Da habe ich nicht bedacht "Mathematik ist die Kunst, jedes Objekt von mindestens 3 Seiten anzuschauen" und nur 2 Seiten betrachtet. Big Laugh
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