Konfidenzintervall bei einmaligem Ziehen mit Dichte

05.08.2019, 01:17

Namenloser324

Konfidenzintervall bei einmaligem Ziehen mit Dichte

Folgende Aufgabe versuchte ich soeben zu bearbeiten (aus Elementare Stochastik von Behrends):

Für jedes $\begin{eqnarray*} c \geq 0 \end{eqnarray*}$ sei ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{eqnarray*} P_c \end{eqnarray*}$ auf [0, 1] durch die Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f_c(x) = (c + 1) x^c \end{eqnarray*}$ gegeben. Bestimmen SIe nach einmailiger ABfrage ein Konfidenzintervall für c mit Irrtumswahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \alpha = 0.05 \end{eqnarray*}$ . Verwenden Sie dabei das in Satz 10.4.1 beschrieben Verfahren.

Verfahren nach Satz 10.4.1 (speziell für den gesuchten Parameter c):
Bei vorgegebenem $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ wird für jedes $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ein möglichst kleines Ereignis $\begin{eqnarray*} \Omega_{c, \alpha} \subset \Omega^n \end{eqnarray*}$ gewählt, so dass $\begin{eqnarray*} P^n_c(\Omega_{c, \alpha}) \geq 1 - \alpha \end{eqnarray*}$ gilt. Nun werden die Konfidenzbereiche wie folgt gefunden:
Definiere für Abfrage $\begin{eqnarray*} (x_1, \dots, x_n) \in \Omega^n \end{eqnarray*}$ die Konfidenzmenge $\begin{eqnarray*} \Delta_{(x_1, \dots, x_n)} \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} \Delta_{x_1, \dots, x_n} := \{c | (x_1, \dots, x_n) \in \Omega_{c, \alpha} \} \end{eqnarray*}$

Soweit so gut.

Ich halte die Frage aber für sinnlos, da bei stetiger Dichte einmal abgefragt wird, und somit ich jedes Intervall um die (Borel-)Menge $\begin{eqnarray*} \{x_1\} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ meine Abfrage ist, erweitern kann, ohne die Wahrscheinlichkeit des Ursprungsintervalls zu ändern. Dann ist es aber willkürlich, ob meine Abfrage in $\begin{eqnarray*} \Omega_{c, \alpha} \end{eqnarray*}$ liegt oder nicht. Möglichst klein wäre das Intervall bezogen auf das Wahrscheinlichkeitsmaß ja immernoch.

Was ist die Forenmeinung?

05.08.2019, 11:27

HAL 9000

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Ok, die Stichprobe besteht nur aus einem einzigen Wert. Die dem Konfidenzintervall zugrundeliegende Statistik ist dann zwangsläufig $\begin{eqnarray*} T=X_1 \end{eqnarray*}$ mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_T(x)=x^{c+1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Ein symmetrisches $\begin{eqnarray*} (1-\alpha) \end{eqnarray*}$ -Konfidenzintervall umfasst nun alle $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ , so dass der Teststatistikwert in den "mittleren" $\begin{eqnarray*} 1-\alpha \end{eqnarray*}$ der Wkt-Masse liegt, d.h.,

$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2} \leq F_T(x_1) \leq 1-\frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ .

Auf Basis dessem bekommt man dann folgende Randpunkte dieses Konfidenzintervalls:

1) Der linke gemäß $\begin{eqnarray*} F_T(x_1)\stackrel{!}{=}1-\frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} c_1=\frac{\ln\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)}{\ln(x_1)}-1 \end{eqnarray*}$ . Gilt aber nur, falls da $\begin{eqnarray*} c_1\geq 0 \end{eqnarray*}$ herauskommt - im Falle $\begin{eqnarray*} c_1<0 \end{eqnarray*}$ ist 0 der linke Randpunkt des Konfidenzintervalls.

2) Der rechte gemäß $\begin{eqnarray*} F_T(x_1)\stackrel{!}{=}\frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} c_2=\frac{\ln\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\ln(x_1)}-1 \end{eqnarray*}$ .

Gilt auch $\begin{eqnarray*} c_2\leq 0 \end{eqnarray*}$ , haben wir ein Problem: Dann lässt sich das mit dem "symmetrischen" Konfidenzintervall überhaupt nicht mehr aufrechterhalten, dann könnte/müsste man stattdessen ein einseitiges Konfidenzintervall via Forderung $\begin{eqnarray*} 0 \leq F_T(x_1) \leq 1-\alpha \end{eqnarray*}$ in Erwägung ziehen.

Natürlich kann man die Sinnhaftigkeit in Zweifel ziehen, aus nur einem Wert $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ein Konfidenzintervall berechnen zu wollen. Man wird an der großen Spannweite dieses Konfidenzintervalls sehen, wie (wenig) sinnvoll das ist - Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \alpha=0.05 \end{eqnarray*}$ und beispielsweise $\begin{eqnarray*} x_1=0.8 \end{eqnarray*}$ ergibt dann nach obiger Rechnung $\begin{eqnarray*} c_1=-0.89 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_2=15.53 \end{eqnarray*}$ , d.h., $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ -Konfidenzintervall $\begin{eqnarray*} [0,15.53] \end{eqnarray*}$ - alles anderes als aussagekräftig.

05.08.2019, 13:08

Huggy

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ein symmetrisches $\begin{eqnarray*} (1-\alpha) \end{eqnarray*}$ -Konfidenzintervall umfasst nun alle $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ , so dass der Teststatistikwert in den "mittleren" $\begin{eqnarray*} 1-\alpha \end{eqnarray*}$ der Wkt-Masse liegt, d.h.,

$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2} \leq F_T(x_1) \leq 1-\frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ .

Ich verstehe den Aufgabentext

Zitat:

Original von Namenloser324
Bei vorgegebenem $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ wird für jedes $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ein möglichst kleines Ereignis $\begin{eqnarray*} \Omega_{c, \alpha} \subset \Omega^n \end{eqnarray*}$ gewählt, so dass $\begin{eqnarray*} P^n_c(\Omega_{c, \alpha}) \geq 1 - \alpha \end{eqnarray*}$ gilt.

so, dass hier nicht ein symmetrisches Konfidenzintervall gesucht wird, sondern ein möglichst kleines. Wenn ich mich nicht täusche, wird das bei

$\begin{eqnarray*} \alpha \leq F_T(x_1) \leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_2= \frac {\ln (\alpha)}{\ln(x_1)} -1 \end{eqnarray*}$

erreicht. Das führt bei $\begin{eqnarray*} \alpha=0.05 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1=0.8 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} c \in (0, 12.425] \end{eqnarray*}$ . Das ist allerdings noch immer nicht sehr aussagekräftig.

05.08.2019, 13:31

HAL 9000

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Ja, macht Sinn (anders als die Einelementigkeit der Stichprobe).

05.08.2019, 14:39

Namenloser324

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Danke für deine Antwort. c < 0 wird nicht betrachtet. Von symmetrisch steht ja erstmal nichts da und ich selber hatte beim Losrechnen versucht die Forderung "möglichst klein" umzusetzen und habe dann Intervalle von [a, 1], berechnet, da gegen 1 die Dichte zunimmt, die Intervalle dann am kürzesten sind für Zielwahrscheinlichkeit 1 - alpha.

Mein Problem hier war oder ist, dass bei einer Dichte und der Konstruktionsvorschrift es eben beliebig ist, ob die Ziehung eines Wertes zu dem Intervall gehört oder nicht, eben weil ich die Ziehung ja beliebig zu Intervallen hinzufügen kann ohne die Wahrscheinlichkeit zu ändern. Danke für deine ausführliche Konstruktion, das hilft mir weiter!

05.08.2019, 15:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Namenloser324
Mein Problem hier war oder ist, dass bei einer Dichte und der Konstruktionsvorschrift es eben beliebig ist, ob die Ziehung eines Wertes zu dem Intervall gehört oder nicht, eben weil ich die Ziehung ja beliebig zu Intervallen hinzufügen kann ohne die Wahrscheinlichkeit zu ändern.

Ich kann dir da gedanklich nicht folgen: Richtig ist, dass es bei einer Intervallwahrscheinlichkeit stetiger Zufallsgrößen für den Wert egal ist, ob man die Intervallgrenze(n) mit zum Ereignis hinzunimmt oder nicht - aber was hat das mit Konfidenzintervallbestimmung zu tun? Aber vielleicht ist die Frage/Missverständnis ja inzwischen geklärt.

05.08.2019, 23:15

Namenloser324

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Hat sich geklärt, euch vielen Dank!

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