Leuchttürme

05.08.2019, 03:40

Dopap

Leuchttürme

In einem Teilgebiet einer Ebene stehen endlich viele vollkommen gleichartige Leuchttürme $\begin{eqnarray*} =\mathbb T \end{eqnarray*}$ derart, dass keine 3 kollinear sind. Jeder Leuchtturm ist möglicher Drehpunkt von 2 linear abhängigen Strahlen.
Wenn ein (der) Strahl einen anderen Leuchtturm trifft erlischt er und der Getroffene übernimmt die Rolle des Vorgängers und setzt die Drehung fort.

Müsste soweit klar sein.

Kann man immer einen Turm mit einem Startwinkel in T derart finden , dass bei unendlicher Dauer jeder Turm unendlich oft den Part des Drehzentrums übernommen hat?

Bei 2 oder 3 Türmen kommt jeder laufend an die Reihe...
Bei mehr Türmen wird es unklar. ( --> Wer ist momentan an der Reihe und oder liegt konvexes Polygon vor?, etc.)

05.08.2019, 09:10

HAL 9000

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Das mit den 2 linear unabhängigen Strahlen leuchtet (sic!) mir hier nicht ganz ein: Die weitere Beschreibung des Sachverhalts gibt für mich keinen Aufschluss, welche Bewandnis es damit haben soll - für mich klingt das nach einem einzigen Strahl zu jedem Zeitpunkt (mit Ausnahme des Moments des Übergangs von einem Leuchtturm zum anderen, aber diese beiden Strahlen dann sind wohl kaum l.u.). verwirrt

Ansonsten bin ich auch der Meinung, dass nach einer endlich langen Anfangssequenz das ganze in eine periodische Wiederholung der Leuchttürme mündet, die auf dem Rand der konvexen Hülle der Leuchttürme liegen.

Umgekehrt gilt aber auch, dass bei einer "konvexen Anordnung" (d.h. keiner der Leuchttürme liegt echt im Innern der konvexen Hülle) auch jeder Leuchtturm unendlich oft in diesem periodischen Schema dann drankommt.

P.S.: Ich hab übrigens selber mal vor Jahren einen Algorithmus zur Identifizierung solcher konvexen Randpunkte in der Ebene bei endlich vielen gegebenen Punkten implementiert, welcher genau solche einen "drehenden Strahl" als Grundidee hatte. Dort hatte ich auch von Anfang an einen garantierten Randpunkt genommen (Min oder Max in einer Koordinate) und auch dazu passenden Anfangsstrahlwinkel, so dass man im Algorithmus überhaupt nicht in die Gefahr geriet, innere Punkte auszuwählen.

05.08.2019, 12:37

Dopap

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RE: Leuchttürme

Zitat:

Original von Dopap
[...] Jeder Leuchtturm ist möglicher Drehpunkt von 2 linear abhängigen Strahlen.[...]

oder : die Halbgeraden bilden eine Gerade.

05.08.2019, 13:29

HAL 9000

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Ah Ok, und irgendwie hatte ich statt "abhängig" seltsamerweise "unabhängig" gelesen - weiß auch nicht, warum. Hammer

05.08.2019, 15:11

Dopap

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weil praktisch immer die Unabhängigkeit erwähnt wird während das Gegenteil selten zum Zuge kommt. ( auch in der Politik Augenzwinkern

).
--------------------
Um das Ganze sprachlich ein wenig zu vereinfachen

1. ein Leuchtturm ist ein Punkt
2. der momentane Leuchtturm ist das "Pivot"
3. der Startpunkt = Pivot ist der $\begin{eqnarray*} P_0 \end{eqnarray*}$
4. die gestreckten Lichtstrahlen ist die "Linie"
evtl. noch
5. die Linie hat bei 0° Startwinkel die Orientierung wie die Y-Achse und dreht clockwise

06.08.2019, 02:32

Dopap

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Inzwischen soweit gekommen :

1.der $\begin{eqnarray*} P_0 \end{eqnarray*}$ darf nicht auf der konvexen Hülle liegen und zugleich eine der Halbebenen enthält alle Punkte.

2. $\begin{eqnarray*} P_0 \end{eqnarray*}$ liegt im Inneren. Bei einer ungeraden Anzahl von Punkten lässt sich die Linie so stellen, dass auf beiden Seiten gleich viele Punkte liegen.

3. die Linken sind rot, die Rechten sind blau. Der Pivot $\begin{eqnarray*} P_0 \end{eqnarray*}$ ist weiß

4. bei Drehung wird ein Blauer der oberhalb liegt zum weißen Pivot, danach ein roter der unterhalb liegt zum Pivot und der alte Pivot wird rot oder umgekehrt.

5. beim Überstreichen mit der Linie wird ein Punkt zum Pivot gibt den Pivot sofort weiter und wechselt die Farbe

6. die beiden FarbAnzahlen bleiben dabei immer konstant !

7. nach 180° sind die Farben vertauscht. Jeder Punkt wurde einmal zum Pivot und das Pivot ist wieder $\begin{eqnarray*} P_0 \end{eqnarray*}$

8. nach 360° ist der Anfangszustand wieder genau erreicht.

9. Bei "geraden" Punktzahlen wird es asymmetrisch evtl. gibt man dem $\begin{eqnarray*} P_0 \end{eqnarray*}$ gleich eine der Farben.

Ohne optische Hilfsmittel ist das schwer zu beschreiben. Man denke z.B. an den Nachweis, dass höchstens 5 Farben für eine Landkarte reichen.
Soweit die Idee, müsste aber funktionieren.

06.08.2019, 10:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
1.der $\begin{eqnarray*} P_0 \end{eqnarray*}$ darf nicht auf der konvexen Hülle liegen und zugleich eine der Halbebenen enthält alle Punkte.

Kannst du mal bitte erklären, welches Ziel du nun verfolgst? Beim Originalproblem oben ging es darum, alle Punkte unendlich oft zu passieren - inzwischen scheint es um was völlig anderes zu gehen (dass in beiden Halbebenen etwa gleich viele Punkte liegen o.ä.). Erstaunt1

07.08.2019, 04:35

Dopap

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RE: Leuchttürme
Die Aufgabe

Zitat:

Original von Dopap
Kann man immer einen Turm mit einem Startwinkel in T derart finden , dass bei unendlicher Dauer jeder Turm
unendlich oft den Part des Drehzentrums übernommen hat?

Die Lösung :

Wähle $\begin{eqnarray*} P_0 \end{eqnarray*}$ im Inneren. Bei einer ungeraden Anzahl von Punkten lässt sich die Linie so stellen, dass auf beiden Seiten
gleich viele Punkte liegen.
die Linken sind rot, die Rechten sind blau. Der Pivot $\begin{eqnarray*} P_0 \end{eqnarray*}$ ist weiss
bei "Überstreichung" wechselt ein Punkt insgesamt seine Farbe.
bei Drehung wird ein Blauer der oberhalb liegt zum weißen Pivot, danach ein roter der unterhalb liegt zum Pivot und der alte Pivot wird rot oder umgekehrt.
je Farbe bleibt die Anzahl der gefärbten Punkte konstant !
nach 180° sind die Farben vertauscht. Jeder Punkt wurde einmal zum Pivot und der aktuelle Pivot ist $\begin{eqnarray*} P_0 \end{eqnarray*}$
nach 360° ist genau der Anfangszustand wieder erreicht.

$\begin{eqnarray*} \qquad \boxed{\Rightarrow}\quad \end{eqnarray*}$ Nach beliebiger Zeit wurde jeder Punkt beliebig oft zum Pivot. w.z.Z.w.

Die Bemerkung:

mit anschaulichen Hilfsmittel wie Farben, Farbanzahlen und blinkenden Pivots wird der Prozess verdeutlicht.
Dieser ist von Farben und Zahlen unabhängig. Eine Animation wäre nice to have Augenzwinkern

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