Infimum bestimmen

05.08.2019, 20:04	robin2412	Auf diesen Beitrag antworten »
Infimum bestimmen Meine Frage: Gegeben ist die Menge $\begin{eqnarray} C = { \frac{\sqrt{x+y} }{xy} : x,y\in \mathbb R, x, y \geq 1 } \end{eqnarray}$ Es soll gezeigt werden, dass 0 das Infimum der Menge C ist. Dazzwird festgelegt: 0 < d < 1. Dafür soll 0 + d < $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{x+y} }{xy} \end{eqnarray}$ zum Widerspruch geführt werden. So weit, so gut. Nun wird x = y = $\begin{eqnarray} \frac{2}{d^{2} } \end{eqnarray}$ gesetzt. Ich verstehe, dass das gemacht wird, um den Widerspruch herzuleiten. Was ich nicht verstehe, ist, wie die auf 2/d^2 kommen.Kann mir jemand bitte helfen? Danke im Voraus Meine Ideen: Keine
05.08.2019, 21:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hoffst zunächst, ein passendes Gegenbeispiel mit $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ zu finden. Damit dies auch wirklich ein Gegenbeispiel wird, muss nach Einsetzen dann $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{x+x}}{x^2} \leq d \end{eqnarray}$ gelten, umgestellt $\begin{eqnarray} x^3 \geq \frac{2}{d^2} \end{eqnarray}$ . Hinreichend dafür ist im Fall $\begin{eqnarray} d<1 \end{eqnarray}$ bereits $\begin{eqnarray} x\geq \frac{2}{d^2} \end{eqnarray}$ . Man hätte genausogut $\begin{eqnarray} x=y=\sqrt[3]{\frac{2}{d^2}} \end{eqnarray}$ wählen können.
06.08.2019, 02:23	robin2412	Auf diesen Beitrag antworten »
Cool! Vielen Dank! Habe es jetzt verstanden!

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