Erwartungswert faktorisieren

06.08.2019, 09:37

BenMath3

Erwartungswert faktorisieren

Hallo,
wenn ich unabhängige ZG X,Y betrachte, die jeweils endlich viele Werte annehmen, sagen wir $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_m \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} b_1,....,b_n \end{eqnarray*}$

Dann gilt $\begin{eqnarray*} E(XY)= \sum_{w \in \Omega} X(w)Y(w)P(w)= \sum_i \sum_j a_i b_j X(w) P(X=a_i) P(Y=b_j)= E(X) E(Y) \end{eqnarray*}$

Warum ist es dabei wichtig $\begin{eqnarray*} \Omega= \bigcup_{i,j} \{X=a_i\} \cap \{Y=b_j\} \end{eqnarray*}$ als disjunkte Vereinigung dieser Mengen zu wählen?

06.08.2019, 10:44

HAL 9000

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In der Mittelsumme hast du beim Copy+Paste vergessen was zu löschen, richtig ist da $\begin{eqnarray*} \sum_i \sum_j a_i b_j P(X=a_i) P(Y=b_j) \end{eqnarray*}$ .

Was die Vereinigung betrifft: Die wird nicht als disjunkt "gewählt", sondern sie ist es per Konstruktion!

Wichtig ist es deshalb, weil jedes $\begin{eqnarray*} \omega\in\Omega \end{eqnarray*}$ natürlich nur in genau einer der Mengen $\begin{eqnarray*} A_{i,j}:=\left\{ \omega\in\Omega \mid X(\omega)=a_i,Y(\omega)=b_j\right\} \end{eqnarray*}$ auftauchen muss bzw. darf, damit die Summengleichheit

$\begin{eqnarray*} \sum_{\omega\in\Omega} X(\omega)Y(\omega)P(\{\omega\}) = \sum_i \sum_j a_i b_j P(A_{i,j}) = \sum_i \sum_j a_i b_j P(X=a_i,Y=b_j)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

auch wirklich erfüllt ist. Diese Gleichung (*) macht übrigens von der Unabhängigkeit noch keinen Gebrauch.

06.08.2019, 11:12

BenMath3

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Zitat:

Original von HAL 9000

Was die Vereinigung betrifft: Die wird nicht als disjunkt "gewählt", sondern sie ist es per Konstruktion!

Wichtig ist es deshalb, weil jedes $\begin{eqnarray*} \omega\in\Omega \end{eqnarray*}$ natürlich nur in genau einer der Mengen $\begin{eqnarray*} A_{i,j}:=\left\{ \omega\in\Omega \mid X(\omega)=a_i,Y(\omega)=b_j\right\} \end{eqnarray*}$ auftauchen muss bzw. darf, damit die Summengleichheit

$\begin{eqnarray*} \sum_{\omega\in\Omega} X(\omega)Y(\omega)P(\{\omega\}) = \sum_i \sum_j a_i b_j P(A_{i,j}) = \sum_i \sum_j a_i b_j P(X=a_i,Y=b_j)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

auch wirklich erfüllt ist. Diese Gleichung (*) macht übrigens von der Unabhängigkeit noch keinen Gebrauch.

Du meinst damit, dass X und Y nach Vor. schon bestimme Werte annehmen und damit der Raum zerlegt wird. Nach * kann man die Wahrscheinlichkeiten faktorisieren und bekommt das Ergebnis.

Könnte man den Beweis auf gleicher Weise damit führen, dass X und Y abzähbar viele Werte annehmen?

06.08.2019, 11:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von BenMath3
Du meinst damit, dass X und Y nach Vor. schon bestimme Werte annehmen und damit der Raum zerlegt wird.

Es sind ja zwei Eigenschaften:

1) Disjunktheit: Die folgt aus der Konstruktion sowie der (sicher geltenden) Annahme, dass die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ untereinander paarweise verschieden sind, und auch die $\begin{eqnarray*} b_j \end{eqnarray*}$ untereinander paarweise verschieden sind.

2) Vereinigung gleich $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ : Das folgt daraus, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ auch nur die Werte $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ annehmen kann, d.h. keine anderen, gleiches für $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ mit den $\begin{eqnarray*} b_j \end{eqnarray*}$ .

06.08.2019, 11:40

BenMath3

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Alles klar. Danke HAL900.

Für den abzählbar unendlichen Fall würde das genauso gehen?

06.08.2019, 11:47

HAL 9000

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Bei dem muss man dann schon aufpassen, denn da kann es bereits Existenzprobleme geben! D.h., aus Summen werden Reihen, mit all dem Ärger der damit evtl. verbunden ist, wie (absolute) Konvergenz bzw. (bestimmte/unbestimmte) Divergenz usw.

06.08.2019, 11:59

BenMath3

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Wenn man fordern würde, dass jeweils $\begin{eqnarray*} E(|X|) < \infty, E(|Y|) < \infty \end{eqnarray*}$ , dann müsste es gehen oder?

06.08.2019, 12:15

HAL 9000

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Ja, dann hat man absolute Konvergenz aller beteiligten Reihen, was auch das beliebige Umordnen erlaubt - kurzum das, was man bei obigem Beweis so braucht.

06.08.2019, 12:24

BenMath3

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Vielen Dank. Wenn ich mir den stetigen Fall ansehe.

Dann muss ja gelten: $\begin{eqnarray*} E(XY)= \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} x y f(x,y) dx dy \end{eqnarray*}$

Die Dichten faktorisieren in Marginaldichten bei Unabhängigkeit. Daraus folgt die Behauptung. Umordnen ist dann wieder erlaubt, unter vorherigen Voraussetzungen.
In diesem Fall betrachte ich den Erwartungswert von stetigen reellwertigen Zufallsvariablen. Was müsste ich für den allgemeineren Fall ändern?

08.08.2019, 10:41

HAL 9000

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Wenn du mit "allgemeineren Fall" den meinst, wo man keinerlei Voraussetzungen wie diskret/stetig usw. trifft: Hier wird man fast unvermeidlich maßtheoretisch an die Sache herangehen müssen. Es ist allgemein

$\begin{eqnarray*} E(XY) = \int\limits_{\Omega} XY ~ \dd P = \iint\limits_{\mathbb{R}^2} xy ~ \dd P_{X,Y}(x,y)\qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

letztere Gleichheit gilt wegen des Transformationssatz bezogen auf das Bildmaß $\begin{eqnarray*} P_{X,Y} = P\circ (X,Y)^{-1} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ unabhängig bedeutet nun, dass gemäß $\begin{eqnarray*} P_{X,Y} = P_X \otimes P_Y \end{eqnarray*}$ das Bildmaß $\begin{eqnarray*} P_{X,Y} \end{eqnarray*}$ als Produktmaß seiner Randverteilungsmaße $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_Y \end{eqnarray*}$ dargestellt werden kann. Aus (*) folgt damit dann weiter

$\begin{eqnarray*} E(XY) = \iint\limits_{\mathbb{R}^2} xy ~ \dd P_X(x) ~ \dd P_Y(y) = \int\limits_{\mathbb{R}} \left( \int\limits_{\mathbb{R}} x ~ \dd P_X(x)\right) y ~ \dd P_Y(y) = \left( \int\limits_{\mathbb{R}} x ~ \dd P_X(x)\right)\cdot \left(\int\limits_{\mathbb{R}} y ~ \dd P_Y(y)\right) = E(X)\cdot E(Y) \end{eqnarray*}$ .

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