Schwingungsgleichung horizontaler Federschwinger

06.08.2019, 19:41

Chander

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Schwingungsgleichung horizontaler Federschwinger

Ich hatte diese Frage in ähnlicher Form im Physikerboard gestellt, aber diese Anfrage verlief bisher ergebnislos. Deshalb bitte ich nun das Matheboard um Unterstützung.

Gesucht ist die Schwingungsgleichung x(t) für einen horizontalen Federschwinger. Es handelt sich um einen besonderen Anwendungsfall: der Federschwinger mit Masse m2 „fährt“ auf eine Masse m1 auf. Es entsteht eine Gesamtmasse m1 + m2 und für diesen Teil der Schwingung benötige ich die Schwingungsgleichung x(t).
Die Kollission findet statt bei t=0
Bei t=0 ist die Druckfeder um 0,04 m vorgespannt.
Bei t=0 besitzt die Gesamtmasse mg eine Geschwindigkeit von mit 4 m/s.
Die Masse mg bewegt sich in gleicher Richtung wie sich auch die Druckfeder entspannt.
mg=0,4 kg, R=650 N/m
Noch bevor die Feder ihre L0 erreicht, läuft der Schwinger auf einen Wegbegrenzer. An dieser Stelle beträgt die Vorspannung der Feder 0,03 m. Diese Stelle ist der Nullpunkt für x.

Anbei eine Skizze.
Nochmals die Zusammenfassung in anderen Worten: Eine Masse m2=0,3 kg ist an einer Feder befestigt und wird von ihr beschleunigt. Masse m2 prallt auf Masse m1. Das Gesamtgewicht der beiden beträgt 0,4 kg und im Moment der Kollision (t=0) sei die Geschwindigkeit der Gesamtmasse 4 m/s.
Letzteres ermittle ich über die kinetische Energie, die vor und nach der Hochzeit identisch sein muss.
Gesucht ist die Schwingungsgleichung x(t) für diesen horizontalen Schwinger ab t=0.

06.08.2019, 19:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Chander
Masse m2 prallt auf Masse m1. Das Gesamtgewicht der beiden beträgt 0,4 kg und im Moment der Kollision (t=0) sei die Geschwindigkeit der Gesamtmasse 4 m/s.
Letzteres ermittle ich über die kinetische Energie, die vor und nach der Hochzeit identisch sein muss.

Die Physik sieht das anders:

Der ganzen Beschreibung nach handelt es sich hier zum Zeitpunkt t=0 um einen Unelastischen Stoß: Für den gilt natürlich auch der Impulserhaltungssatz, ansonsten aber nur die Bedingung, dass beide Massen sich nach dem Stoß mit derselben (d.h. gemeinsamen) Geschwindigkeit weiter bewegen. Die gesamte kinetische Energie bleibt aber nicht erhalten, ein Teil der vor dem Stoß vorhandenen kinetischen Energie wird in Wärme/Verformungsenergie umgewandelt.

06.08.2019, 22:09

Chander

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Schwingungsgleichung
Danke HAL. Sorry, wenn ich das missverständlich formulierte. Es handelt sich um Bauteile, die bei der Kollision eine formschlüssige Verbindung miteinander eingehen, die bei jeder Wiederholung des Ablaufs wieder getrennt wird. Bei der beschriebenen Betrachtung, also beginnend bei t=0, verbinden sich die beteiligten Massen, die nächste Fahrt geht rückwärts, da werden sie wieder voneinander getrennt.
Da mich die Dauer interessiert, bin ich auf der Suche nach der Schwingungsgleichung x(t).

06.08.2019, 22:17

HAL 9000

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Das ändert aber doch nichts an der Gültigkeit des Impulserhaltungssatzes - ich verstehe deinen Einwand allenfalls so, dass die innere Energie als Differenz der kinetischen Energien beim unelastischen Stoß irgendwie "zwischengespeichert" wird und dann nach dem Entkoppeln wieder freigegeben wird. verwirrt

verwirrt

06.08.2019, 22:21

Hausmann

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Die Startgeschwindigkeit der verbundenen Massen läßt sich durchaus mit dem Energiesatz (vor Zusammenstoß) und Impulserhalt bestimmen. (So könnte man übrigens auch der Energieverlust berechnen.) Kannst Du Deine Rechnung für die 4 m/s mal kurz aufschreiben?

Ansonsten ist die Aufgabe trotz der aufwendigen Gestaltung für mich etwas schwer lesbar, vielleicht wegen des technischen Slangs und der Kästchen statt Punkte. (...)

07.08.2019, 06:18

Chander

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Vielen Dank für die Diskussion zwischen Euch. Es handelt sich um eine praktische Anwendung. Bitte entschuldigt den Slang. Und ich muss bzgl. des eigentlichen Problems hinzufügen: ich habe Null Ahnung, wie ich die Anfangsgeschwindigkeit im Ansatz der Schwingungsgleichung berücksichtigte.
$\begin{eqnarray*} E_{kin_g}=E_{kin_2} \end{eqnarray*}$

daraus folgt für die Geschwindigkeit bei t=0
$\begin{eqnarray*} v_{g_0}=v_{2}\sqrt{\frac{m_{2} }{m_{1}+m_{2} } } \end{eqnarray*}$

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07.08.2019, 08:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von Chander
Es handelt sich um eine praktische Anwendung.

Wenn du damit unterschwellig sagen willst, dass deshalb dort die Gesetze der Physik nicht gelten müssen: Finger1

Finger1

Zitat:

Original von Chander
$\begin{eqnarray*} v_{g_0}=v_{2}\sqrt{\frac{m_{2} }{m_{1}+m_{2} } } \end{eqnarray*}$

Eben nicht: Nach Impulserhaltungssatz (der IMMER gilt, im Gegensatz zum rein kinetischen Energieerhaltungssatz) folgt

$\begin{eqnarray*} v_{g_0}=v_2\frac{m_2}{m_1+m_2} \end{eqnarray*}$ .

Eine Erhaltung der kinetischen Energie hat man nur beim elastischen Stoß, und bei dem bewegen sich die beiden Massen nach dem Stoß aber mit unterschiedlicher Geschwindigkeit weiter. Das sind einfach physikalische Tatsachen - es ist schon sehr verwunderlich, dass du dich trotz der Hinweise auch weiterhin darüber hinwegsetzen willst.

07.08.2019, 09:12

Hausmann

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Nochmal zur Energieerhaltung (bis zum Stoß):
Energie Start (meinetwegen) = 0
= Energie (unmittelbar vor Stoß) = Bewegungsenergie m2+ Spannenergie gegenüber Start (<0) ->
v2 (vor dem Stoß) -> v(gesamt) nach dem Stoß.

07.08.2019, 09:39

Chander

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@ Hausmann: Danke, korrekter Gedankengang.

@ HAL: Vielen Dank für die Erklärung zum Ansatz über den Impuls. Die Berücksichtigung in der Berechnung ist entsprechend leicht durchzuführen.

Nun lasst uns von den eingangs erwähnten 4 m/s ausgehen. Und wenn ich nun so darüber nachdenke: für meine Frage bzgl. der Herleitung der Schwingungsgleichung sind die Werte unerheblich. Kann mir bitte jemand bzgl. der Gleichung behilflich sein? Wie der Eine oder Andere bereits korrekt vermutet, fehlt mir komplett der Zugang zum Thema.
Gott

Gott

07.08.2019, 10:04

Ehos

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@Hausmann

Zu lösen ist die Schwingungsgleichung

$\begin{eqnarray*} (m_1+m_2)\cdot \tfrac{d^2x}{dt^2}+k x=0 \end{eqnarray*}$

Die allgemeine Lösung (ohne Berücksichtigung von Anfangsbedingungen) lautet bekanntlich

$\begin{eqnarray*} x(t)=C\cdot \sin\left ( \sqrt{\tfrac{k}{m_1+m_2}}\cdot t+\phi_0\right) \end{eqnarray*}$

Die unbekannten Konstanten C und $\begin{eqnarray*} \phi_0 \end{eqnarray*}$ lassen sich aus den zwei Anfangsbedingungen für Ort und Geschwindigkeit berechnen. Der Anfangsort x(0) ist die obige Lösung zur Zeit t=0. Die Anfangsgeschwindigkeit $\begin{eqnarray*} \tfrac{dx}{dt}(0) \end{eqnarray*}$ ist die 1.Anleitung der obigen Lösung bei t=0, also

$\begin{eqnarray*} x(0)=C\cdot \sin\left (\phi_0\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tfrac{dx}{dt}(0)=C\cdot \sqrt{\tfrac{k}{m_1+m_2}}\cdot \cos\left (\phi_0\right) \end{eqnarray*}$

Dies ist ein Gleichungssystem für die noch umbekannten Konstanten C und $\begin{eqnarray*} \phi_0 \end{eqnarray*}$ in der obigen allgemeinen Lösung. Auf der linken Seite des Gleichungssystems musst du Anfangsort und Anfangsgeschwindigkeit einsetzen. Der Anfangsort x(0) ergibts sich aus deiner Skizze zum Zeitpunkt t=0 des Stoßes. Die Anfangsgeschwindigkeit bekommt man (wie @Hal9000 richtig schrieb) aus dem Impulserhaltungssatz gemäß

$\begin{eqnarray*} \tfrac{dx}{dt}(0)=\tfrac{m_2}{m_1+m_2}v_1 \end{eqnarray*}$

Bei beiden Anfangsbedingungen muss man das richtige Vorzeichen beider Größen beachten!

07.08.2019, 10:46

Hausmann

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Die Schwingung (bis zum nächsten Knall) mit gegebener Start-Auslenkung und Start - Geschwindigkeit ist bekannt; das Fahrrad muß man nicht neu erfinden. Als Koordinaten - Ursprung nimmt man üblicherweise die Position der entspannten Feder*) (wo liegt L0 ?). Notfalls auch Dein x =0.
*) $\begin{eqnarray*} y(t)=y(0)\cos \omega t+\frac{\text{v}(0)}{\omega}\sin \omega t \end{eqnarray*}$

07.08.2019, 14:22

HAL 9000

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Die Schwingung hier ist schon ganz interessant, denn auch wenn man hier keine (stetige) Dämpfung hat, so doch eine "diskrete" Dämpfung: Soll heißen, das System verliert bei jedem Stoß vom $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ bzw. in der Gegenrichtung dann dem Aufhalten von $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ an diesem Begrenzer kinetische Energie (wohin auch immer, ob in Verformungs- oder Wärmeenergie).

Konsequenz für $\begin{eqnarray*} t\to\infty \end{eqnarray*}$ dürfte sein, dass dann $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ die Masse $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ einmal pro Periode nur noch "gerade so" berührt, d.h., die Masse $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ für großen zeitlichen Horizint de facto als Amplitudenbegrenzer wirkt.

Man kann das so quantifizieren:

In Umlauf $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ treffe $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ mit Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v_{2,n} \end{eqnarray*}$ . Wie oben festgestellt, bewegen sich $\begin{eqnarray*} m_1+m_2 \end{eqnarray*}$ mit Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v_n:=v_{2,n}\frac{m_2}{m_1+m_2} \end{eqnarray*}$ weiter. Nach Passieren des Umkehrpunkts trifft $\begin{eqnarray*} m_1+m_2 \end{eqnarray*}$ wieder an diesem Punkt an, diesmal mit Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} -v_n \end{eqnarray*}$ , mit dieser Geschwindigkeit bewegt sich auch $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ weiter während $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ am Begrenzer aufgehalten wird (erneuter kinetischer Energieverlust). $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ setzt seine Reise fort, passiert den anderen Umkehrpunkt und kommt wieder am Begrenzer an, offenbar mit Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v_{2,n+1}=v_n \end{eqnarray*}$ . Wir haben damit die geometrische Folge $\begin{eqnarray*} v_{2,n+1}=v_{2,n}\frac{m_2}{m_1+m_2} \end{eqnarray*}$ bzw. explizit $\begin{eqnarray*} v_{2,n}=v_{2,1}\left(\frac{m_2}{m_1+m_2}\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$ .

07.08.2019, 15:01

Chander

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@all: Herzlichen Dank für die Unterstützung. Insbesondere an Ebos für die Gleichung und Hausmann bezüglich des Nullpunkts.
...und das mit dem Impulssatz war ebenfalls entscheidend für die korrekte Berechnung.

Vielen Dank!

08.08.2019, 23:53

Chander

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Jungs, bitte nochmal. Es geht um eine Frage zum arctan. Derzeit betrachte ich die Schwingung vor der Kollision. Ursprünglich ging ich bei dieser zweiten Betrachtung von der Annahme aus, dass sich m2 in Ruhe befindet, also bei t=0 sei v=0 und die Position ist s2.
Soweit war die Welt zu diesen Bedingungen noch in Ordnung:

(1) $\begin{eqnarray*} x(t)=Asin(\omega t +\varphi )-s_{1} \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} v(t)=A\omega cos(\omega t +\varphi ) \end{eqnarray*}$

bei t=0:
$\begin{eqnarray*} A=\frac{s_{2} }{sin \varphi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v(0)=A\omega cos \varphi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \omega = \sqrt{\frac{k}{m_{2} } } \end{eqnarray*}$

A in v(0) eingesetzt führt zu

$\begin{eqnarray*} \varphi = arctan(\frac{s_{2} }{0} \omega ) \end{eqnarray*}$

Das ging auch noch klar: phi strebt gegen pi/2. Also pi/2 eingesetzt und das Leben war gut.

Nachdem wir hier den Stoß thematisiert hatten, wollte ich als Beispiel durchrechnen, was denn wäre, wenn m2 auf den Wegbegrenzer an Position s2 "knallt" und von dort abprallt. Zum Zeitpunkt t=0 sei an der Stelle s2 v<0. Kleiner Null deshalb, weil sich m2 nach dem Stoß auf den Nullpunkt zubewegt.

Tja, und was soll ich sagen? Plötzlich stimmt hier gar nichts mehr. Ich bin entsetzt.
Durch das negative Vorzeichen der Anfangsgeschwindigkeit ist phi<0.
Beispielsweise nehme ich für die Berechnung von x(t) Werte von t an. Die Gegenprobe erfolgt, indem die berechneten x-Werte in (1) aufgelöst nach t eingesetzt werden.
(3) $\begin{eqnarray*} t(x)=\frac{1}{\omega} (arcsin(\frac{s_{1}+x }{A}) -\varphi) \end{eqnarray*}$

Gleichung 3 liefert allerdings eine minimale Abweichung, z.B. bei t=0.
(4) $\begin{eqnarray*} t(s_{2})=\frac{1}{\omega} (arcsin(\frac{s_{2} }{A}) -\varphi) \end{eqnarray*}$

Wer gibt mir bitte einen Tipp?

09.08.2019, 01:03

Hausmann

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Die Aufgabe war bisher schon recht speziell (Orte, Zeiten?) und wird jetzt noch geändert, zum Beispiel t = 0 bei s2, dazu wieder der unpassender Ansatz für die Schwingung ...

Vorschlag: Neue Frage ohne Skizze; meinetwegen so und so vorgespannte Feder mit m und k wird bei t = 0 und x(0) losgelassen - welche Bewegung / Schwingung x(t) stellt sich ein?

09.08.2019, 05:19

Chander

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Danke, dann wird es evtl. auch mir klarer.

An einer Druckfeder mit Federrate k und ungespannter Länge L0 befinde sich eine Masse m.
Der Weg der Masse ist begrenzt durch zwei Wegbegrenzer. Die Begrenzer sind so gesetzt, dass die Feder nicht ihre L0 erreichen kann. Somit ist die Feder immer vorgespannt, d.h. in einem verkürzten Zustand.
Die Masse wird gegen den Druck der Feder bis zu Wegbegrenzer 2 verschoben. Ihre Vorspannung beträgt an dieser Stelle s2 (im Vergleich zu ihrer ungespannten Länge L0).
Bei t=0 befindet sich die Masse an Wegbegrenzer 2 und sie sei im Zustand der Ruhe. Sie wird zu diesem Zeitpunkt freigegeben und durch die Feder so lange beschleunigt bis m auf Wegbegrenzer 1 trifft. Dort entpsricht die Vorspannung der Feder s1 (von L0 ausgehend).
s1 sei der Nullpunkt für die Berechnung der Schwingung. Bei Komprimierung der Feder ist x positiv.

Gesucht ist die Schwingungsgleichung x(t), daraus abgeleitet v(t) sowie x(t) aufgelöst nach t(x).

Im zweiten Betrachtungsfall wirkt Wegbegrenzer 2 als Anschlag. Die Masse m stößt mit einer Geschwindigkeit v1 gegen den Wegbegrenzer 2 und prallt von diesem ab. Nach der Richtungsumkehr betrage die Geschwindikgeit von m v2. Im Moment der Richtungsumkehr sei t=0 und die Geschwindigkeit betrage v2.

09.08.2019, 09:07

Ehos

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@Chander

Aus meiner Sicht sind die Ortsangaben in deiner Skizze nicht klar, was mir die Ursache für die Konfusion in diesem Thread zu sein scheint. Um Klarheit zu schaffen, schlage ich folgendes vor

Vorschlag 1:
Betrachte die Massen $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ als punktförmig (also ohne Ausdehnung in x-Richtung)

Vorschlag 2:
Mache eine einfache Skizze, die nur das Wesentliche zeigt. Zeichne also eine x-Achse und markiere darauf die x-Position folgender drei Punkte:

1. $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ = Linkes Ende der Feder im entspannten Zustand
2. $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ = Position der punktförmigen Masse $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ vor dem Stoß
3. $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ = Position der punktförmigen Masse $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ vor deren Bewegung

Wenn $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ klar sind, ist die Sache auch mathematischer Sicht ziemlich einfach.

09.08.2019, 09:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ehos
Aus meiner Sicht sind die Ortsangaben in deiner Skizze nicht klar, was mir die Ursache für die Konfusion in diesem Thread zu sein scheint.

Exakt mein Eindruck. Der obigen Skizze sowie der Gleichung $\begin{eqnarray*} x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)-s_1 \end{eqnarray*}$ nach zu urteilen sieht es so aus:

- die mit $\begin{eqnarray*} L_0 \end{eqnarray*}$ markierte "entspannte" Federposition entspricht $\begin{eqnarray*} x=-s_1 \end{eqnarray*}$

- die mit $\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ markierte Position entspricht $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , dort ist dieser Begrenzer aufgebaut

- die mit $\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ markierte Position entspricht $\begin{eqnarray*} x=s_2-s_1=0.04 \end{eqnarray*}$ (der Zahlenwert basiert auf den in der Skizze angegebenen Werten), dies scheint die Startposition zum Zeitpunkt t=0 zu sein, d.h. $\begin{eqnarray*} x(0)=s_2-s_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v(0)=0 \end{eqnarray*}$ .

Nun ist $\begin{eqnarray*} \omega=\sqrt{\frac{k}{m_2}} \end{eqnarray*}$ , und Amplitude $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sowie Phase $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ lassen sich aus den Startwerten $\begin{eqnarray*} x(0)=s_2-s_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(0)=0 \end{eqnarray*}$ berechnen. Offenkundig ergibt das $\begin{eqnarray*} \varphi=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} A=s_2 \end{eqnarray*}$ , d.h., wir haben

$\begin{eqnarray*} x(t) = s_2\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)-s_1 = s_2\cos(\omega t)-s_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v(t) = \dot{x}(t) = -s_2\omega\sin(\omega t) \end{eqnarray*}$

Das ganze gilt natürlich nur bis zu dem Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ , wo der Begrenzer erreicht wird, d.h. der ersten Nullstelle von $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ , dort greifen dann die oben diskutierten Effekte (Impulserhaltung usw.):

Es ist $\begin{eqnarray*} x(t_1)=0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} v(t_1) = \frac{m_2}{m_1+m_2}v(t_1-0) \end{eqnarray*}$ der Startpunkt der veränderten Bewegungsgleichung $\begin{eqnarray*} x(t)=\tilde{A}\sin(\tilde{\omega} t+\tilde{\varphi})-s_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \tilde{\omega}=\sqrt{\frac{k}{m_1+m_2}} \end{eqnarray*}$ , neue Amplitude $\begin{eqnarray*} \tilde{A} \end{eqnarray*}$ und Phase $\begin{eqnarray*} \tilde{\varphi} \end{eqnarray*}$ sollten aus eben diesen $\begin{eqnarray*} x(t_1),v(t_1) \end{eqnarray*}$ bestimmbar sein. Diese Bewegungsgleichung gilt natürlich auch nur bis zu dem Zeitpunkt, wo sich die Massen wieder voneinander lösen.

P.S.: Meine Beschreibung 07.08.2019 14:22 wird damit hinfällig. Dort war ich davon ausgegangen, dass sich die Federruhelage rechts des Begrenzers befindet - sie liegt aber stattdessen ja links davon.

Eine Frage noch zu der Zusatzmasse $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ : Wird die nach Passieren $\begin{eqnarray*} x(t_1)=0 \end{eqnarray*}$ einfach nur bis zum nächsten Umkehrpunkt links mit "geschoben" und verharrt dann an diesem Umkehrpunkt? Oder ist

Zitat:

Original von Chander
Es handelt sich um Bauteile, die bei der Kollision eine formschlüssige Verbindung miteinander eingehen, die bei jeder Wiederholung des Ablaufs wieder getrennt wird.

so zu deuten, dass $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ auch nach dem Umkehrpunkt zunächst an $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ "haften" bleibt bis wieder via $\begin{eqnarray*} x(t_2)=0 \end{eqnarray*}$ der Begrenzer erreicht wird und sich dann erst die Verbindung löst? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Chander
Bei Komprimierung der Feder ist x positiv.

Passt nicht zum Rest der Modellierung: Für positive $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist die Feder komprimiert, ja. Aber sie ist ebenfalls komprimiert für negative Werte $\begin{eqnarray*} x\geq -s_1 \end{eqnarray*}$ , das sind die Positionen rechts der eingezeichneten Entspannungslage $\begin{eqnarray*} L_0 \end{eqnarray*}$ . unglücklich

unglücklich

09.08.2019, 12:44

Chander

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Anbei eine vereinfachte Skizze. Sorry, anklicken, dann wird sie in besserer Auflösung sichtbar.

Fall 1:
Diesmal wird die Masse m von Hand von s1 auf s2 zurückgezogen. Zum Zeitpunkt t=0 wird sie losgelassen und beschleunigt von von v2=0 ausgehend, bis s1 erreicht ist. Dort endet unsere Betrachtung.

Fall 2:
Im Unterschied zu Fall 1 ist v2≠0 und in gleicher Richtung wie die Federkraft gerichtet.

Lasst mich bitte noch folgendes anmerken: Diesmal soll die Beschleunigung der Masse m von s2 bis s1 betrachtet werden.
Die Stoßübertragung an s1 und die anschließende Beschleunigung konnte ich Dank eurer Hilfe erfolgreich abschließen. Bin noch immer ganz hin und weg. Das hätte ich bis heute nicht geschafft. Danke!

@HAL: Du hast alles korrekt erfasst. Nur beim Bezugssystem weiche ich ab, weil ich den Weg der Masse als Betrachtungsgröße annehme. Aber klar, das Komprimieren der Feder findet in negativer Richtung statt.

09.08.2019, 20:27

Chander

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Zitat:

Original von HAL 9000

[…] so zu deuten, dass $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ auch nach dem Umkehrpunkt zunächst an $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ "haften" bleibt bis wieder via $\begin{eqnarray*} x(t_2)=0 \end{eqnarray*}$ der Begrenzer erreicht wird und sich dann erst die Verbindung löst?

Ja, m1 ist an m2 gekoppelt und sie bewegen sich zunächst gemeinsam ein kurzes Stück zurück.
...war hierzu noch eine Antwort schuldig....

09.08.2019, 20:54

Chander

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Was ich nun habe ist:

(1) $\begin{eqnarray*} x(t)=Asin(\omega t+\varphi) \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} v(t)=A \omega cos(\omega t +\varphi) \end{eqnarray*}$

bei t=0:
$\begin{eqnarray*} \varphi=arctan(\frac{(s_{2}-s_{1})\omega }{v_{0} } ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=\frac{s_{2}-s_{1} }{sin\varphi} \end{eqnarray*}$

(3) $\begin{eqnarray*} t(x)=(arcsin(\frac{x-s_{1} }{A})-\varphi)/\omega \end{eqnarray*}$

Eingangs hatte ich erwähnt, dass ich die Berechnung bei t=0 mit v(0)=0 im Kasten hatte. Da v in der Gleichung von phi im Nenner steht, wies ich phi den Wert pi/2 zu. Mit obigen Formeln wäre es -pi/2. Aber jetzt liefert nicht mal mehr der Fall für v(0)=0 korrekte Ergebnisse.

10.08.2019, 18:59

Chander

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Entwarnung! Got it. Vielen Dank für eure Zeit.

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