Wesentliche Singularität

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07.08.2019, 12:44

MasterWizz

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Wesentliche Singularität

Hey Leute ich hoffe es geht euch gut Wink

Im Buch "Das Gelbe Rechenbuch 3" (S. 137) von Peter Furlan steht:

Zitat:

Warnung: Das reelle Bild kann höchstens einen Anhaltspunkt für den Typ der Singularität dienen. Z.B. hat $\begin{eqnarray*} \mathrm{e}^{\frac{1}{z^2}} \end{eqnarray*}$ im Reellen bei null den Limes null, es liegt aber trotzdem eine wesentliche Singularität vor.

Das verwirrt mich, denn der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} z\rightarrow0 \end{eqnarray*}$ liefert ein unendlich großes Ergebnis und nicht Null. Kann es sein, dass es sich um einen Druckfehler handelt und die Funktion $\begin{eqnarray*} \mathrm{e}^{-\frac{1}{z^2}} \end{eqnarray*}$ gemeint ist? Aber in dem Fall hat die Funktion doch eine hebbare Singularität nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz, weil diese Funktion in der Umgebung von $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ beschränkt ist.

Habe ich einen Denkfehler oder gibt es einen Druckfehler im Buch? Und wenn es ein Druckfehler ist, was wäre die naheliegendste Korrektur?

Vielen Dank für eure Zeit smile

07.08.2019, 13:03

PWM

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RE: Wesentliche Singularität
Hallo,

ich vermute auch, dass $\begin{eqnarray*} f(z):=\exp(-\frac{1}{z^2}) \end{eqnarray*}$ gemeint ist.

Für das weitere schau Dir mal $\begin{eqnarray*} f(\frac{i}{n}) \end{eqnarray*}$ an

Gruß pwm

07.08.2019, 15:02

MasterWizz

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RE: Wesentliche Singularität
Hey PWM, danke für deine schnelle Antwort!

Ich verstehe was du meinst. Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(z)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{z^2}} \end{eqnarray*}$ ist also wegen $\begin{eqnarray*} f\left(\frac{\mathrm{i}}{n}\right)=\mathrm{e}^{n^2} \end{eqnarray*}$ im Komplexen in einer hinreichend kleinen Umgebung von $\begin{eqnarray*} z_0=0 \end{eqnarray*}$ unbeschränkt. Darum hat $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} z_0=0 \end{eqnarray*}$ nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz auch keine hebbare Singularität.

Auf einer Seite davor im Buch steht, dass eine Singularität hebbar ist, wenn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z) \end{eqnarray*}$ existiert. Naiv, wie ich bin, hätte ich den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{z\rightarrow0}\mathrm{e}^{-\frac{1}{z^2}}=0 \end{eqnarray*}$ berechnet und wäre nie auf die Idee gekommen, dass der Grenzwert abhängig ist von der Richtung, aus der ich mich $\begin{eqnarray*} z_0=0 \end{eqnarray*}$ annähere. Im Nachhinein ergibt es Sinn $\begin{eqnarray*} z=r\left(\cos(\varphi)+\mathrm{i}\sin(\varphi)\right) \end{eqnarray*}$ zu setzen und mal für den Fall $\begin{eqnarray*} \varphi=\pm\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{r\rightarrow0} \end{eqnarray*}$ zu untersuchen.
Kannst du mir einen Tipp geben, wie ich in Zukunft an die Berechnung komplexer Grenzwerte rangehen kann, damit mir so ein Fehler nicht wieder passiert?

Vielen Dank! smile

07.08.2019, 16:45

PWM

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RE: Wesentliche Singularität
Hallo,

ein Tipp ist schwierig.

Zunächst muss man sich der Problematik der Grenzwert-Definition klar sein: Die Annäherung an den Grenzpunkt $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ kann in beliebiger Weise erfolgen. Nicht nur aus beliebigen Richtungen, sondern auch auf Parabeln, Spiralen .....

Oft gelingt der Nachweis eines Grenzwerts w durch eine Abschätzung

$\begin{eqnarray*} |f(z)-w| <= d(|z-z_0|) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} d(r) \to 0 (r \to 0) \end{eqnarray*}$ . Manchmal helfen Grenzwertsätze und die bekannte Stetigkeit von elementaren Funktionen.

Gruß pwm

07.08.2019, 17:00

MasterWizz

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RE: Wesentliche Singularität
Super vielen Dank für deine Hilfe! smile

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Wesentliche Singularität

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