Hurwitzkriterium

07.08.2019, 19:40

moisx

Hurwitzkriterium

moin, ich will das die polynomfunktion

alpha*s^2+beta*s+gamma

mit

alpha=C^2 * (1-2rg)
beta=3Cg * (1-rg)
gamma=g^2 * (1-rg)

das Hurwitzkriterium nicht erfüllt bzw. erfüllt.

Wie gehe ich da vor? Als Musterlösung habe ich das es nicht erfüllt ist, das dann

(1-2rg) <0 und (1-rg) >0 gelten muss. Das sagt die Musterlösung. Wenn ich diese zwei Ungleichungen nun nach r auflöse weiß ich für welche r, das Polynom kein Hurwitzpolynom ist.

Was ist wenn ich .z.b sagen würde (1-rg)<0 und (1-2rg) >0. Also genau das Gegenteil. Das müsste doch auch richtig sein oder?

Denn laut Hurwitzkriterium dürfen dann alle Koeffizienten nicht dasselbe Vorzeichen haben.

Um jetzt ein Hurwitzpolynom zu sein, könnte man folgende zwei Fälle erlauben oder wäre nur eines richtig?

1) (1-2rg)>0 und (1-rg)>0
2) (1-2rg<0 und (1-rg)<0

Hier haben alle Koeffizienten dann dasselbe Vorzeichen (positiv/negativ). Das wäre ein Hurwitzpolynom.

Analog zu nicht Hurwitzpolynom was meine oben genannte Frage ja war:

1) (1-2rg)>0 und (1-rg)<0
2) (1-2rg)<0 und (1-rg)>0

Beides wäre auch hier korrekt oder?

08.08.2019, 10:00

Huggy

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RE: Hurwitzkriterium

Zitat:

Original von moisx
Was ist wenn ich .z.b sagen würde (1-rg)<0 und (1-2rg) >0. Also genau das Gegenteil. Das müsste doch auch richtig sein oder?

Das geht nicht. Wenn $\begin{eqnarray*} 1-rg < 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} 1-2rg \end{eqnarray*}$ erst recht kleiner $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Es wird ja dann noch mehr von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ abgezogen.

Um sicher zu sein, dass ein Hurwitzpolynom vorliegt, muss auch noch $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ betrachtet werden. Dessen Vorzeichen hängt ja nicht nur von dem Vorzeichen $\begin{eqnarray*} 1-rg \end{eqnarray*}$ ab, sondern auch von den Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ab.

08.08.2019, 10:57

moisx

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Wie geht man den an sowas ran wenn ich eine Polynomfunktion der oben genannten Form habe und die Koeffizienten die evtl von einem Parameter X abhängig sind, so auslegen will das die Polynomfunktion ein Hurwirtz/kein Hurwitzpolynom wird?

Ich dachte ich kann einfach ansetze

Koeffizient a1 soll kleiner sein als 0
Koeffizent a2 soll größer sein als 0

Wenn ich das als Ungleichung zb schreibe und dann auflöse nach einer variable dann müsste doch eine Bedingung für diese Variable vorhanden sein, das ebend die oben genannten Annahmen vorliegen. Wieso muss ich da noch viel nachdenken? Wie macht man das einfachsten?

Ich versteh das nicht ..

08.08.2019, 11:29

Huggy

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Zitat:

Original von moisx
Wie geht man den an sowas ran wenn ich eine Polynomfunktion der oben genannten Form habe und die Koeffizienten die evtl von einem Parameter X abhängig sind, so auslegen will das die Polynomfunktion ein Hurwirtz/kein Hurwitzpolynom wird?

Mit $\begin{eqnarray*} 1-rg>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1-2rg<0 \end{eqnarray*}$ hast du doch eine hinreichende Bedingung dafür, dass kein Hurwitzpolynom vorliegt, weil dann $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ verschiedene Vorzeichen haben. Diese Bedingung kann man in

$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 < rg < 1 \end{eqnarray*}$

umschreiben. Allerdings ist das keine notwendige Bedingung dafür, dass kein Hurwitzpolynom vorliegt.

Zitat:

Wieso muss ich da noch viel nachdenken? Wie macht man das einfachsten?

In der Mathematik muss man meistens nachdenken. Gewöhne dich daran.

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