Umkehrfunktion bestimmen

09.08.2019, 13:16

f_k_a

Umkehrfunktion bestimmen

Meine Frage:
y=x^3+2x

Meine Ideen:
Ich hab x ausgeklammert dann hatte ich y = x * (x^2+2)
Dann hab ich einmal durch x geteilt was mich zu keiner Lösung gebracht hat und einmal hab ich es mit geteilt durch die Klammer probiert kam auch auf keine Lösung.

09.08.2019, 13:32

Leopold

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Eine simple algebraische Auflösung nach $\begin{align*} x \end{align*}$ ist nicht möglich, es sei denn, man bemüht die Formeln von Cardano.
Meine Erfahrung mit solchen Aufgaben zeigt jedoch, daß die Fragesteller oftmals mehr tun wollen, als von ihnen gefordert wird. Möglicherweise ist nur verlangt, die Umkehrbarkeit zu zeigen, was hier leicht über die Monotonie nachzuweisen wäre. Wie lautet denn die originale Formulierung der Aufgabe?

09.08.2019, 13:45

HAL 9000

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Da glücklicherweise der quadratische Term in der kubischen Funktion fehlt, ist die Cardano-Auflösung $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y) = \sqrt[3]{\sqrt{\frac{y^2}{4} + \frac{8}{27}}+\frac{y}{2}} - \sqrt[3]{\sqrt{\frac{y^2}{4} + \frac{8}{27}}-\frac{y}{2}} \end{eqnarray*}$ doch kein Problem, man muss ja nicht mal eine Fallunterscheidung bzgl. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ bemühen. Augenzwinkern

09.08.2019, 14:02

f_a_k

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Aufgabenstellung
Sei f: R ->R, x -> x^3 + 2x

ist f bijektiv?
Berechnen Sie f(0), f^-1(0) und (f^-1)'(0).

09.08.2019, 14:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von f_a_k
Berechnen Sie f(0), f^-1(0) und (f^-1)'(0).

Ach daher weht der Wind: Implizite Differentiation

Es ist anratsam, die Ableitung $\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(0) \end{eqnarray*}$ über diesen Weg zu berechnen, statt das von mir oben angegebene Monstrum abzuleiten. Augenzwinkern

Ingesamt hat Leopold natürlich den richtigen Riecher gehabt. (Vermutlich ist die Glaskugel wieder ordentlich geputzt.)

09.08.2019, 15:53

klauss

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RE: Umkehrfunktion bestimmen
Mir ist der Aufgabentyp nach folgendem Muster untergekommen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{3}+2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^{2}+2>0 \Rightarrow f^{-1}(0)=0 \end{eqnarray*}$
Inversenformel:
$\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(x)=\frac{1}{f' \left[f^{-1}(x) \right] } \end{eqnarray*}$
Jetzt 0 einsetzen und obige Gegebenheiten nutzen. Empfehlung: Zur Probe das Ergebnis auch geometrisch bestätigen.
Es ist also weder die Umkehrfunktion noch deren Ableitung formelhaft gesucht.

09.08.2019, 20:53

Leopold

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