Dimension und der Basis von Unterräumen

10.08.2019, 16:37	Uni-Mawiwi	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension und der Basis von Unterräumen Edit (mY+): Bitte keine Hilfersuchen, auch nicht im Titel. Titel modifiziert. Meine Frage: Ich habe die Aufgabenstellung sowie meine Lösungsansätze als Bild angehängt bei Aufgabenteil (4) hab ich 3 mal den Zassenhaus Algorithmus angewendet allerdings hab ich auch drei unterschiedliche Ergebnisse. Meine Ideen: Wie bereits geschrieben meine Ideen sind als Bildanhang eingefügt.
10.08.2019, 22:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei (1) musst du nichts machen, die Dimension ist 2 und eine Basis steht schon da. Wenn man bei (2) den 1. vom 2. Spaltenvektor subtrahiert erkennt man die Dimension 2 und die beiden ersten Vektoren als Basis. Bei (3) kann man wegen (2) den letzten Vektor vergessen, eine kleine Rechnung ergibt die Dimension 3 und dann kann man z.B. als Basis von T+U die beiden Vektoren von T und den ersten von U nehmen. (4) Mein Gefühl sagt mir, dass der Durchschnitt von T und U die Dimension 1 haben muss, und wenn ich dann spaßeshalber die beiden erzeugenden von T addiere - heureka, ich hab's (ganz ohne Zassenhaus). Mit kleinen Vektörchen muss man manchmal einfach ein bißchen herumspielen, dann spart man viel Zeit und jede Menge Rechenfehler. (Ja, ich habe auch 10 Minuten verbraten, aber das scheint mir noch angemessen, weil das Schreiben hier in den 10 Minuten enthalten war.) Nachtrag: Mein "Gefühl" kommt daher, dass ich Vektorräume mit Mengen in Beziehung sehe. Für die Mächtigkeit von Mengen $\begin{eqnarray} A, B \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \|A\|+\|B\|=\|A\cup B\|+\|A\cap B\| \end{eqnarray}$ . Für die Dimensionen von Untervektorräumen $\begin{eqnarray} T,U\le V \end{eqnarray}$ eines Vektorraums $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} dim (T)+dim (U)=dim(T+U)+dim(T\cap U)\Rightarrow dim (T\cap U)=dim(T)+dim(U)-dim(T+U) \end{eqnarray}$ . Das verträgt sich bestens mit der Anschauung, dass zwei nichtparallele Ebenen in einem beliebigen 3-dimensionalen Untervektorraum eines 4-dimensionalen Vektorraums sich in einer Geraden schneiden. Noch ein Nachtrag : Eigentlich muss man nur die Definitionen kennen. Eine Basis eines Vektorraums ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, und die Dimension eines Vektorraums ist die Mächtikgkeit einer Basis.

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