Extrema einer Funktion auf Kugeloberfläche |
11.08.2019, 15:12 | thelox10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Extrema einer Funktion auf Kugeloberfläche Hi, gesucht sind Extrema der Funktion auf der Oberfläche der Kugel mit Radius 1. Also ist oder ? Meine Ideen: Lösen würde man das mit der Lagrange-Methode , richtig? Jetzt ist mein Problem aber folgendes: Wenn ich die Lagrange-Funktion aufstelle und den Gradienten davon bilde, komme ich auf folgendes: Jetzt habe ich mir die Lösungen angeschaut und es soll für , für z= und für also die Punkte : und Wie Kommt man da drauf? Sonst verstehe ich alle Rechenschritte, nur wie man auf diese Punkte kommt verstehe ich noch nicht. Danke im Voraus LaTeX-Tags gefixt. Es ist [/latex] statt [\latex] |
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11.08.2019, 15:13 | thelox10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Extrema einer Funktion Auf Kugeloberfläche PS: Ich check latex nicht... |
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11.08.2019, 17:43 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Extrema einer Funktion Auf Kugeloberfläche . |
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12.08.2019, 09:08 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Extrema einer Funktion auf Kugeloberfläche
Das ist zumindest eine Möglichkeit.
Was genau verstehst du dabei nicht? Das sind die Lösungen des Gleichungssystems Hast du Probleme, die Lösungen dieses Gleichungssystems zu finden? |
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12.08.2019, 11:11 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Falsch: Es geht hier um die Punkte . Und es sind nicht zwei, sondern vier Punkte, weil die beiden hier nicht gekoppelt sondern unabhängig voneinander wählbar sind. Es ist zu vermuten, dass du beim Lösen des obigen Gleichungssystems nicht mit der gebotenen Sorgfalt bei der Fallunterscheidung vorgegangen bist. |
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12.08.2019, 17:26 | thelox10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Danke schonmal für die Antworten. Also ich habe noch echt Probleme dabei die Punkte an sich zu finden. Also die kritischen Punkte der Lagrange-Funktion. Mir fällt es schwer aus den einzelnen Termen die in der Funktion stehen Punkte zu finden. @HAL: Eben das fällt mir schwer. Habt ihr Tipps/Tricks ? Danke |
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12.08.2019, 17:46 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Man braucht da keine Tricks, sondern nur Sorgfalt. Fang doch mal mit der ersten Gleichung an. Die ist erfüllt für oder für Diese beiden Möglichkeiten sind nun in den restlichen Gleichungen zu betrachten. Das kann zu weiteren Fallunterscheidungen führen. |
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12.08.2019, 18:18 | thelox10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Okay, da bin ich auch schnell drauf gekommen. Jetzt ist aber die Frage : Was mache ich mit Zeile 2 und 3? Löse ich Zeile 2 nach z oder nach y auf? Dasselbe mit Zeile 3 ? |
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13.08.2019, 08:04 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Man kann z. B. Gleichung 2 nach auflösen und das in Gleichung 3 einsetzen. Es ergeben sich wieder 2 Möglichkeiten, bei denen die nach dem Einsetzen entstehende Gleichung erfüllt ist. |
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14.08.2019, 16:57 | thelox10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wenn ich 2 nach z auflöse und das bei 3 einsetze, wie genau ergeben sich dann 2 Möglichkeiten? |
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14.08.2019, 17:34 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wie lautet die sich ergebende Gleichung? |
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14.08.2019, 17:47 | thelox10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Löse ich die 2.Gleichung nach z auf, bekomme ich -2y richtig? Da ich aus Gleichung 1 ja schon =-1 habe. Wenn ich das jetzt in die 3.Gleichung einsetze, bekomme ich : woraus folgt das y=0 ist. Daraus ergibt sich wiederum, dass z=0 ist. Und dann? |
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14.08.2019, 19:20 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
So passt das nicht, auch wenn dein Resultat teilweise stimmt.
Nein. Du bekommst Schreibe möglichst vollständige Gleichungen auf.
Das war nur eine Möglichkeit für die Lösung von Gleichung 1. Aber man kann durchaus probieren, was aus der Kombination dieser Möglichkeit mit dem aktuellen Resultat folgen würde.
Nach Beachtung meiner obigen Korrektur bekommt man
Nicht so schnell! Ja, das ist auch nach meiner Korrektur eine Möglichkeit zur Erfüllung der letzten Gleichung. Es gibt aber noch eine andere Möglichkeit! Welche ist das? Wenn man die Möglichkeit in die 4. Gleichung einsetzt, was folgt dann? |
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14.08.2019, 22:30 | thelox10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Aus der 4. Gleichung folgt dann Ich verstehe nicht ganz wieso es für Gleichung 1 mehr als eine Lösung geben sollte? |
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15.08.2019, 07:30 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok, nochmal von vorn. Die erste Gleichung lautet Gemäß Nullproduktsatz ("Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist") bedeutet das oder , wie von Huggy oben erwähnt. (*) Genauso kann man auf die andere aus 2./3. hergeleitete Gleichung ebenfalls den Nullproduktsatz anwenden. (**) Aber der Reihe nach: Wenn wir eine Fallunterscheidung gemäß (*) führen, dann hast du gerade den einen Fall diskutiert, für den gilt und daher gemäß (**) und somit auch . Die vierte Gleichung ergibt dann . Nun ist auch noch der zweite Fall gemäß (*) zu diskutieren, und der ist . Wegen der vierten Gleichung kann hier dann aber nicht (und damit auch ) gelten, daher folgt aus (**) diesmal , umgestellt , und damit wegen dann . Dies zusammen mit in die 4.Gleichung eingesetzt und aufgelöst ergibt dann die weiteren vier (!) Lösungen des Gleichungssystems. |
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15.08.2019, 20:47 | thelox10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich glaube ich habe den Dreh raus. Vielen Dank für eure Hilfe und Mühe |
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16.08.2019, 14:37 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Da du dir alles komplett hast vorrechnen lassen, habe ich leise Zweifel, ob du wirklich den Dreh raus hast. Das wird sich erst erweisen, wenn du ähnliche Aufgaben eigenständig lösen kannst. Bisher sind nur die Kandidatenpunkte für lokale Extrema gefunden. Nicht geklärt ist bisher, ob diese alle wirklich lokale Extrema ergeben. Man könnte die Aufgabe auch angehen, indem man die Nebenbedingung nach auflöst und das in die Zielfunktion einsetzt. Man hat dann als zu untersuchende Funktion Das ist ganz lehrreich. Denn wenn man jetzt zu oberflächlich vorgeht, erhält man nur einen Teil der Kandidatenpunkte, die man mit Hilfe des Langrangemultplikators bekommen hat. |
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16.08.2019, 15:27 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die originale Aufgabenstellung ist nicht ganz eindeutig, ob nur die globalen oder auch die lokalen Extremstellen und -werte gesucht sind. Ersteres könnte man mit sogar ganz ohne Analysis durchziehen, nur unter Nutzung der Nichtnegativität von Quadraten sowie von . |
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20.08.2019, 20:50 | MasterWizz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich hätte einen alternativen Lösungsansatz, der etwas übersichtlicher ist. Du musst lediglich in Matrix-Vektor-Schreibweise umformen: und Dann kriegst du nämlich wegen und die Lösungen geschenkt. Denn: führt auf das Eigenwertproblem. Diese Extremwertaufgabe hat 3 kritische Punkte und zwar die normierten Eigenvektoren der Matrix . EDIT: Die Vektoren mit geänderten Vorzeichen sind natürlich auch Lösungen. |
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