Extrema einer Funktion auf Kugeloberfläche

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thelox10 Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema einer Funktion auf Kugeloberfläche
Meine Frage:
Hi,

gesucht sind Extrema der Funktion auf der Oberfläche der Kugel mit Radius 1.

Also ist oder ?


Meine Ideen:
Lösen würde man das mit der Lagrange-Methode , richtig?

Jetzt ist mein Problem aber folgendes:

Wenn ich die Lagrange-Funktion aufstelle und den Gradienten davon bilde, komme ich auf folgendes:



Jetzt habe ich mir die Lösungen angeschaut und es soll für , für z= und für

also die Punkte :


und

Wie Kommt man da drauf? Sonst verstehe ich alle Rechenschritte, nur wie man auf diese Punkte kommt verstehe ich noch nicht.

Danke im Voraus

LaTeX-Tags gefixt. Es ist [/latex] statt [\latex]
thelox10 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extrema einer Funktion Auf Kugeloberfläche
PS: Ich check latex nicht...
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extrema einer Funktion Auf Kugeloberfläche
.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extrema einer Funktion auf Kugeloberfläche
Zitat:
Original von thelox10
Lösen würde man das mit der Lagrange-Methode , richtig?

Das ist zumindest eine Möglichkeit.

Zitat:
Wie Kommt man da drauf? Sonst verstehe ich alle Rechenschritte, nur wie man auf diese Punkte kommt verstehe ich noch nicht.

Was genau verstehst du dabei nicht? Das sind die Lösungen des Gleichungssystems



Hast du Probleme, die Lösungen dieses Gleichungssystems zu finden?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von thelox10
also die Punkte :

Falsch: Es geht hier um die Punkte . Und es sind nicht zwei, sondern vier Punkte, weil die beiden hier nicht gekoppelt sondern unabhängig voneinander wählbar sind.

Es ist zu vermuten, dass du beim Lösen des obigen Gleichungssystems nicht mit der gebotenen Sorgfalt bei der Fallunterscheidung vorgegangen bist.
thelox10 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal für die Antworten.

Also ich habe noch echt Probleme dabei die Punkte an sich zu finden. Also die kritischen Punkte der Lagrange-Funktion.

Mir fällt es schwer aus den einzelnen Termen die in der Funktion stehen Punkte zu finden.

@HAL: Eben das fällt mir schwer.

Habt ihr Tipps/Tricks ?

Danke
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von thelox10
Habt ihr Tipps/Tricks ?

Man braucht da keine Tricks, sondern nur Sorgfalt. Fang doch mal mit der ersten Gleichung an. Die ist erfüllt für



oder für



Diese beiden Möglichkeiten sind nun in den restlichen Gleichungen zu betrachten. Das kann zu weiteren Fallunterscheidungen führen.
thelox10 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, da bin ich auch schnell drauf gekommen.


Jetzt ist aber die Frage : Was mache ich mit Zeile 2 und 3?

Löse ich Zeile 2 nach z oder nach y auf?

Dasselbe mit Zeile 3 ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann z. B. Gleichung 2 nach auflösen und das in Gleichung 3 einsetzen. Es ergeben sich wieder 2 Möglichkeiten, bei denen die nach dem Einsetzen entstehende Gleichung erfüllt ist.
thelox10 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich 2 nach z auflöse und das bei 3 einsetze, wie genau ergeben sich dann 2 Möglichkeiten?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lautet die sich ergebende Gleichung?
thelox10 Auf diesen Beitrag antworten »

Löse ich die 2.Gleichung nach z auf, bekomme ich -2y richtig? Da ich aus Gleichung 1 ja schon =-1 habe.

Wenn ich das jetzt in die 3.Gleichung einsetze, bekomme ich :



woraus folgt das y=0 ist. Daraus ergibt sich wiederum, dass z=0 ist.

Und dann?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

So passt das nicht, auch wenn dein Resultat teilweise stimmt.

Zitat:
Original von thelox10
Löse ich die 2.Gleichung nach z auf, bekomme ich -2y richtig?

Nein. Du bekommst



Schreibe möglichst vollständige Gleichungen auf.

Zitat:
Da ich aus Gleichung 1 ja schon =-1 habe.

Das war nur eine Möglichkeit für die Lösung von Gleichung 1. Aber man kann durchaus probieren, was aus der Kombination dieser Möglichkeit mit dem aktuellen Resultat folgen würde.

Zitat:
Wenn ich das jetzt in die 3.Gleichung einsetze, bekomme ich :

Nach Beachtung meiner obigen Korrektur bekommt man



Zitat:
woraus folgt das y=0 ist. Daraus ergibt sich wiederum, dass z=0 ist.

Nicht so schnell! Ja, das ist auch nach meiner Korrektur eine Möglichkeit zur Erfüllung der letzten Gleichung. Es gibt aber noch eine andere Möglichkeit! Welche ist das?

Wenn man die Möglichkeit

in die 4. Gleichung einsetzt, was folgt dann?
thelox10 Auf diesen Beitrag antworten »

Aus der 4. Gleichung folgt dann



Ich verstehe nicht ganz wieso es für Gleichung 1 mehr als eine Lösung geben sollte?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, nochmal von vorn. Die erste Gleichung lautet

Gemäß Nullproduktsatz ("Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist") bedeutet das oder , wie von Huggy oben erwähnt. (*)

Genauso kann man auf die andere aus 2./3. hergeleitete Gleichung ebenfalls den Nullproduktsatz anwenden. (**)

Aber der Reihe nach:

Wenn wir eine Fallunterscheidung gemäß (*) führen, dann hast du gerade den einen Fall diskutiert, für den gilt und daher gemäß (**) und somit auch . Die vierte Gleichung ergibt dann .

Nun ist auch noch der zweite Fall gemäß (*) zu diskutieren, und der ist . Wegen der vierten Gleichung kann hier dann aber nicht (und damit auch ) gelten, daher folgt aus (**) diesmal , umgestellt , und damit wegen dann . Dies zusammen mit in die 4.Gleichung eingesetzt und aufgelöst ergibt dann die weiteren vier (!) Lösungen des Gleichungssystems.
thelox10 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich habe den Dreh raus.

Vielen Dank für eure Hilfe und Mühe smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Da du dir alles komplett hast vorrechnen lassen, habe ich leise Zweifel, ob du wirklich den Dreh raus hast. Das wird sich erst erweisen, wenn du ähnliche Aufgaben eigenständig lösen kannst.

Bisher sind nur die Kandidatenpunkte für lokale Extrema gefunden. Nicht geklärt ist bisher, ob diese alle wirklich lokale Extrema ergeben.

Man könnte die Aufgabe auch angehen, indem man die Nebenbedingung nach auflöst und das in die Zielfunktion einsetzt. Man hat dann als zu untersuchende Funktion



Das ist ganz lehrreich. Denn wenn man jetzt zu oberflächlich vorgeht, erhält man nur einen Teil der Kandidatenpunkte, die man mit Hilfe des Langrangemultplikators bekommen hat.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die originale Aufgabenstellung ist nicht ganz eindeutig, ob nur die globalen oder auch die lokalen Extremstellen und -werte gesucht sind. Ersteres könnte man mit sogar ganz ohne Analysis durchziehen, nur unter Nutzung der Nichtnegativität von Quadraten sowie von .
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte einen alternativen Lösungsansatz, der etwas übersichtlicher ist. Du musst lediglich in Matrix-Vektor-Schreibweise umformen:


und

Dann kriegst du nämlich wegen und die Lösungen geschenkt. Denn:





führt auf das Eigenwertproblem. Diese Extremwertaufgabe hat 3 kritische Punkte und zwar die normierten Eigenvektoren der Matrix .



EDIT: Die Vektoren mit geänderten Vorzeichen sind natürlich auch Lösungen.
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