Auswertung einer Minimumsaufgabe

11.08.2019, 16:33	vogs	Auf diesen Beitrag antworten »
Auswertung einer Minimumsaufgabe Hallo, kann mir bitte jemand erklären, wie man auf folgende Lösung kommt: $\begin{eqnarray} l = \lim_{r->\infty} \min_{\|\|x\|\|=r} \left( \frac{x_{1}^2}{1+x_{1}^2} + x_2^2 \right) = \lim_{\|x_1\|->\infty} \frac{x_1^2}{1+x_1^2} = 1 \end{eqnarray}$
11.08.2019, 18:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe bei Auswertung einer Minimumsaufgabe Eine Möglichkeit (rechenlastig) ist: Man benutzt $\begin{eqnarray} x_1^2 + x_2^2 = r^2 \end{eqnarray}$ um es zu einem Minimierungsproblem in einer Dimension runterzubrechen. Definiere hierzu $\begin{eqnarray} f_r \colon [-r;r] \to [0,\infty],\quad f_r(x) = \frac { x^2 } { 1 + x^2 } + r^2 - x^2 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} l = \lim_{r\to\infty} \min_{x \in [-r,r]} f_r(x) \end{eqnarray}$ . Und das Minimum kann man für jedes $\begin{eqnarray} r > 0 \end{eqnarray}$ bestimmen. Etwas einfacher kann man argumentieren, dass $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ beim Minimierungsproblem asymptotisch beschränkt bleiben muss, weil sonst $\begin{eqnarray} l = \infty \end{eqnarray}$ . Sobald $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ beschränkt ist, muss $\begin{eqnarray} x_1 \to \infty \end{eqnarray}$ gelten. Damit kommt man recht flott auf das Ergebnis.

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