Gauß-Algorithmus

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Irukandji Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß-Algorithmus
Guten Abend,
ich komme bei bestimmten Typen von Gleichungssystemen mit dem Gauß Algorithmus nicht weiter.

Wenn die Gleichungen diesen Aufbau haben komme ich auf die Lösung mit dem Gauß:

3x-1y+2z=8
x+2y-3z=2
4x+5y- z =3

Dazu schreibe ich das in diese Form und berechne es in Zeilen Stufen Form.











....X .......Y.........Z



Nun stelle ich 1z = - nach z um und erhalte -.

z = -

Danach kann ich die Gleichung 1y-z =- durch das Einsetzen von z = - in die Gleichung 1y-*(-) =-nach y umstellen und erhalte -

y = -

Danach kann ich die Gleichung 1x -y+z = durch das Einsetzen von y und z nach x umstellen
1x-*(-)+*(-) = und erhalte

x =

Nun kann ich x, y und z in die Ausgangsgleichungen einsetzen.

3()-1(-)+2(-)=8

+2(-)-3( -)=2

4()+5(-)- (-) =3

Damit weiß ich, ob ich richtig gerechnet habe.
Nur wie löse ich ein Gleichungssystem mit dem Gauß bei zum Beispiel diesen Beispielen:

2w+3x-1y+1z= 2
4w -2x-4y+2z= 4
1w+1x+6y+4z = 1

oder

2x+4y-2z=-8
4x+2y-4z=12

Dort kann ich die Zeilen-Stufen-Form nicht anwenden so wie ich es oben gemacht haben. Wie komme ich mithilfe des Gauß-Algorithmus auf die Lösung?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »



Die Lösung ist nicht eindeutig, weil nur 2 Gleichungen für 3 Variable vorliegen.

Wähle beliebig, dann ist und , also die Lösungsmenge.
 
 
Irukandji Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Elvis. Wie nennt man dieses Verfahren, welches du angewendet hast?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gauß-Algorithmus, vielleicht auch erweiterter Gauß-Algorithmus. Jedenfalls beruht alles darauf, dass man Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren kann und eine Zeile mit einem Faktor multiplizieren kann. Das geht von oben nach unten und von unten nach oben. Man versucht so viele Nullen und Einsen wie möglich zu erreichen und liest dann die Lösungsmenge ab.
Irukandji Auf diesen Beitrag antworten »

Leider finde ich unter diesen beiden Begriffen keine ähnliche Aufgabe mit Lösungswegen. Denn so richtig verstädnlich ist es mit der zusätzlichen Variable für mich noch nicht.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

den Gleichungen mit den Punktmengen kann man Namen geben.
Jede der Gleichung stellt eine Ebene im Raum dar. Als Schnitt ergibt sich eine Gerade im Raum, eben jene obige Lösungsmenge mit dem Parameter t.
Man spricht auch von der Parameterdarstellung

Aber auch ein "System" aus nur einer Gleichung ist "lösbar", nur dass man hier 2 Parameter z.B. r,t
benötigt. Die Lösungsmenge ist dieselbe aber aus einer Relation von Koordinaten = eine Gleichung wird die parametrisierte Ebenenform.

Hier am Matheboard gibt es unzählige Beiträge zur Lösungsmenge eines LGS
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist keine zusätzliche Variable des Gleichungssystems sondern ein Parameter der Lösungsmenge. Die Nullzeile ändert am Gleichungssystem nichts und wird durch gelöst (ich nehme an, dass du mit reellem LGS arbeitest). In die Lösungsmenge kann man nicht eine Variable schreiben, dass wäre sinnlos, Parameter kann man in eine Lösungsmenge schreiben, das ist wohldefiniert. Wenn dein Nachdenken nicht von Erfolg gekrönt ist, frag deinen Lehrer.
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