Möbiustransformation

13.08.2019, 19:25	BilboW	Auf diesen Beitrag antworten »
Möbiustransformation Meine Frage: Hallo, ich soll in einer Aufgabe eine Möbiustransformation aufstellen, die das Innere des Einheitskreises auf die komplexe Untere Halbebene abbildet. 2 Punkte sind dabei gebegeben : z1 = 1 w1 = 0 z2 = -i/2 w2 = -1-i Welchen 3. Punkt kann ich da wählen um die 6 Punkte Formel anzuwenden ? Meine Ideen: Meine Idee wäre z3 = -i w3 = unendlich Kann man das so machen ? Sonst bin ich bisher nur Ränder abgegangen und habe auf die Orientierung geachtet.
13.08.2019, 20:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Einheitskreis der $\begin{align} z \end{align}$ -Ebene muß auf die reelle Achse der $\begin{align} w \end{align}$ -Ebene abgebildet werden. Diese ist ein Kreis durch $\begin{align} \infty \end{align}$ . Du kannst zum Beispiel $\begin{align} -1 \end{align}$ (auf dem Einheitskreis) auf $\begin{align} \infty \end{align}$ (auf der reellen Achse) abbilden. Mit dem Ansatz $\begin{align} w = \frac{az+b}{z+1} \end{align}$ hast du das schon einmal erreicht. Jetzt mußt du die komplexen Koeffizienten $\begin{align} a,b \end{align}$ noch so bestimmen, daß $\begin{align} 1 \mapsto 0 \, , \ \ - \frac{1}{2} \operatorname{i} \mapsto -1 - \operatorname{i} \end{align}$ gilt, dann hast du eine mögliche Möbius-Transformation gefunden.
13.08.2019, 22:20	BilboWs	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir. Ist es egal welchen Punkt ich auf dem Einheitskreis wähle ? zB -i, i , -1 ? Ach und eine Sache hatte ich vergessen : Als Hinweis stand unter der Aufgabe "Der Rand des Einheitskreises wird auf die Imaginäre Achse abgebildet" Ich weiss nicht wie der Hinweis da helfen soll. Da man ja noch einen Punkt auf der reellen Achse braucht oder nicht ?
13.08.2019, 22:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe da, glaube ich, Blödsinn erzählt, zumindest teilweise. Zunächst zum Hinweis unter der Aufgabe. Das Innere des Einheitskreises wird vom Einheitskreis berandet, das Innere der unteren Halbebene von der reellen Achse. Daher muß die gesuchte Möbiustransformation den Einheitskreis auf die reelle Achse abbilden. Warum im Hinweis von der imaginären Achse die Rede ist, weiß ich nicht. Irgendein Versehen vermutlich. Es muß nun einen Punkt auf dem Einheitskreis geben, der auf $\begin{align} \infty \end{align}$ abgebildet wird, denn $\begin{align} \infty \end{align}$ ist ein Punkt der reellen Achse. Ich habe dafür in meinem Vorschlag $\begin{align} z=-1 \end{align}$ gewählt. Das war etwas leichtsinnig. Zwar erreicht man damit, daß der Einheitskreis auf eine Gerade durch 0 (das ist das Bild von 1 laut Aufgabe) und $\begin{align} \infty \end{align}$ abgebildet wird, aber davon gibt es natürlich nicht nur eine. Man könnte den folgenden Ansatz wählen: $\begin{align} w = \frac{az+b}{z-c} \ \text{mit} \ \ \|c\|=1 \, , \ c \neq 1 \end{align}$ Also nicht einfach $\begin{align} -1 \end{align}$ als Urbild von $\begin{align} \infty \end{align}$ nehmen, sondern einen zunächst noch unbestimmten Punkt $\begin{align} c \end{align}$ auf dem Einheitskreis. Mit $\begin{align} 1 \mapsto 0 \, , \ \ - \frac{1}{2} \operatorname{i} \mapsto -1 - \operatorname{i} \end{align}$ bekommt man zwei Gleichungen für die drei unbekannten Koeffizienten $\begin{align} a,b,c \end{align}$ . Man muß dann noch dafür sorgen, daß ein weiterer Punkt des Einheitskreises, zum Beispiel $\begin{align} z=\operatorname{i} \end{align}$ , ein reelles Bild hat. Mit allem Vorbehalt habe ich Folgendes herausbekommen: $\begin{align} a = - \frac{21}{37} + \frac{15}{37} \operatorname{i} \, , \ \ b = \frac{21}{37} - \frac{15}{37} \operatorname{i} \, , \ \ c = \frac{12}{37} - \frac{35}{37} \operatorname{i} \end{align}$ Die Werte sind allerdings für eine Übungsaufgabe so merkwürdig, daß ich hinter alles noch ein großes Fragezeichen machen würde.

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