Erwartungswert eines k-seitigen Würfels

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eroy Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert eines k-seitigen Würfels
Hallo zusammen,

ich möchte den Erwartungswert eines k-seitigen fairen Würfels berechnen, und zwar bis alle Seiten einmal gewürfelt wurden. Also sei X die Anzahl der Würfe, die dieser Prozess benötigt.
Ich gehe folgendermaßen vor. Eine Seite wird mit Wahrscheinlichkeit gewürfelt und da wir auf den k-ten Erfolg warten, komme ich auf = . Warum ist diese Vorgehensweise falsch? Was ist der korrekte Erwartungswert?

Danke euch für jeden Rat!!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eroy
ich möchte den Erwartungswert eines k-seitigen fairen Würfels berechnen, und zwar bis alle Seiten einmal gewürfelt wurden. Also sei X die Anzahl der Würfe, die dieser Prozess benötigt.

In logisch geordneten Bahnen bedeutet das wohl

Zitat:
Ein k-seitiger fairer Würfel wird so lange geworfen, bis alle Seiten mindestens einmal gewürfelt wurden. Es sei X die Anzahl der Würfe, die dieser Prozess benötigt, und ich möchte den Erwartungswert von X bestimmen.


Such mal im Board nach "Sammelbilderproblem", das ist nämlich das passende Stichwort. Da findest du einige Erklärungen zur Lösung, z.B. hier.

Kurzresümee: Dein ist die Summe von geometrisch verteilten Zufallsgrößen mit den Parametern für , der gesuchte Erwartungswert ist demzufolge die Summe der Kehrwerte dieser Parameter, d.h.

.


Zitat:
Original von eroy
und da wir auf den k-ten Erfolg warten, komme ich auf = . Warum ist diese Vorgehensweise falsch?

Warum sollte sie richtig sein? Auf die erste noch unbekannte Zahl muss man z.B. mitnichten im Mittel Versuche warten, die kommt sofort im ersten Wurf.

Deine wären richtig für folgendes alternatives Problem: Wir warten solange, bis zum ersten mal die "1" kommt, dann warten wir solange, bis zum ersten Mal die "2" kommt usw. schließlich warten wir, bis zum ersten Mal "k" kommt. Das ist aber eine vollkommen andere Problemstellung, bei der man komplett missachtet, dass höhere Augenzahlen auch schon mal früher auftreten können und damit abgehakt werden können!
 
 
eroy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Kurzresümee: Dein ist die Summe von geometrisch verteilten Zufallsgrößen mit den Parametern für , der gesuchte Erwartungswert ist demzufolge die Summe der Kehrwerte dieser Parameter, d.h.

.


Danke! Das klärt alles!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das würde ich zwar nicht so sehen, dass dieses Resümee "alles" klärt, deshalb habe ich ja auch zu einem Thread bzw. Wiki verlinkt, wo wirklich erklärt wird statt bloßer Endformel. Aber Ok, wenn du zufrieden bist... smile
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